Metrischer Zusammenhang

Ein metrischer Zusammenhang beziehungsweise ein mit der Metrik kompatibler Zusammenhang ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es handelt sich um einen Spezialfall eines Zusammenhangs.

Definition

Sei {\displaystyle (M,{\tilde {g}})} eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei {\displaystyle (E\to M,g)} ein Vektorbündel mit (induzierter) Metrik g. Ein Zusammenhang \nabla auf E heißt metrischer Zusammenhang, wenn für alle Schnitte {\displaystyle X,Y,Z\in \Gamma (E)}

{\displaystyle \nabla _{X}(g(Y,Z))=0}

gilt.

Die Metrik ist also kovariant konstant bezüglich des metrischen Zusammenhangs. Aus dieser Eigenschaft folgt für alle {\displaystyle X,Y,Z\in \Gamma (E)}

{\displaystyle X(g(Y,Z))=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z).}

Beispiele

Das bekannteste Beispiel eines metrischen Zusammenhangs ist der Levi-Civita-Zusammenhang. In diesem Fall ist das Vektorbündel das Tangentialbündel TM an M mit der riemannschen Metrik von M. Da zu jeder riemannschen Mannigfaltigkeit genau ein Levi-Civita-Zusammenhang existiert, gibt es insbesondere mindestens einen metrischen Zusammenhang auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit.

Affiner Raum

Sei {\displaystyle (E\to M,g)} ein Vektorbündel mit Metrik g, dann ist die Menge X der metrischen Zusammenhänge auf E ein nichtleerer affiner Raum modelliert mit den (vektorwertigen) 1-Formen aus {\displaystyle {\mathcal {A}}^{1}(M,\operatorname {End} (E)),} d.h., es gibt eine Abbildung

{\displaystyle l:{\mathcal {A}}^{1}(M,\operatorname {End} (E))\times X\to X,}

so dass mit der Notation {\displaystyle \omega +\nabla :=l(\omega ,\nabla )}

  1. für jedes {\displaystyle \nabla \in X} die Gleichung {\displaystyle 0+\nabla =\nabla } gilt,
  2. für jedes {\displaystyle \omega ,\nu \in {\mathcal {A}}^{1}(M,\operatorname {End} (E))} und für alle {\displaystyle \nabla \in E} das Assoziativgesetz {\displaystyle (\omega +\nu )+\nabla =\omega +(\nu +\nabla )} gilt und
  3. für alle {\displaystyle \nabla \in X} die Abbildung {\displaystyle \omega \mapsto \omega +\nabla } bijektiv ist.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 29.08. 2020