Website durchsuchen

Fastkörper

Ein Fastkörper ist eine algebraische Struktur, die in der synthetischen Geometrie als Koordinatenbereich für gewisse affine und projektive Translationsebenen dient. Er verallgemeinert den Begriff Schiefkörper insofern, als nur eines der Distributivgesetze gefordert wird: Für einen Linksfastkörper das Links-, für einen Rechtsfastkörper das Rechtsdistributivgesetz. Ein Fastkörper, der nur eines der Distributivgesetze erfüllt, wird auch als echter Fastkörper bezeichnet. Zur Unterscheidung von abweichenden Bedeutungen des Begriffes werden die hier beschriebenen Strukturen manchmal (etwa von Hans Julius Zassenhaus) vollständige Fastkörper genannt.

Die projektiven Ebenen der Klassen IVa.2 in der Lenz-Barlotti-Klassifikation projektiver Ebenen können stets durch einen echten Linksfastkörper koordinatisiert werden, ebenso die (bis auf Isomorphie) einzige Ebene der Klasse IVa.3. Die dualen Klassen IVb.2 und IVb.3 können durch echte Rechtsfastkörper koordinatisiert werden. Daneben kann man aus angeordneten Fastkörpern durch eine Änderung der Multiplikation, die mit der Moulton-Ebenen-Konstruktion verwandt ist, Modelle für angeordnete Ternärkörper konstruieren, die Ebenen der Lenz-Klasse I koordinatisieren.

Auf einem endlichen Fastkörper als Koordinatenbereich kann man stets einen schwach affinen Raum aufbauen.

Jeder Schiefkörper ist ein Fastkörper. Jeder Fastkörper ist ein Quasikörper und damit erst recht eine Kartesische Gruppe und ein Ternärkörper.

Definition

Ein Linksfastkörper oder kurz Fastkörper ist eine algebraische Struktur (F, +, \cdot), sodass auf der Menge F zwei zweistellige Verknüpfungen Addition + und Multiplikation \cdot definiert sind, für die gilt:

  1. (F, +) ist eine Gruppe mit dem neutralen Element 0.
  2. (F\setminus\{0\}, \cdot) ist eine Gruppe mit dem neutralen Element 1.
  3. Die Null ist absorbierend: a\cdot 0=0\cdot a=0 gilt für alle {\displaystyle a\in F}.
  4. Es gilt das Linksdistributivgesetz: a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c für alle a, b, c \in F.

Gilt anstelle des Linksdistributivgesetzes das Rechtsdistributivgesetz, dann spricht man von einem Rechtsfastkörper.[1]

Gleichwertig kann man einen Linksfastkörper definieren als einen Linksquasikörper mit assoziativer Multiplikation. Entsprechendes gilt natürlich auch für die jeweiligen „Rechts“-Strukturen.

Kern des Fastkörpers

Wie bei einem Quasikörper wird auch für einen Fastkörper die Menge

\operatorname{Kern}(F) := \{x \in F \mid \forall a,b \in F\colon (a+b)x = ax+bx\} für Linksfastkörper bzw.
\operatorname{Kern}(F) := \{x \in F \mid \forall a,b \in F\colon x(a+b) = xa+xb\} für Rechtsfastkörper

als Kern des Fastkörpers definiert.

Eigenschaften und Bemerkungen

  • Jeder Fastkörper ist ein Quasikörper und ein Quasikörper ist genau dann ein Fastkörper, wenn in ihm das Assoziativgesetz der Multiplikation gilt.
  • Jeder Schiefkörper ist ein Fastkörper und ein Fastkörper ist genau dann ein Schiefkörper, wenn in ihm beide Distributivgesetze gelten.
  • Ein Halbkörper ist genau dann ein Fastkörper, wenn in ihm das Assoziativgesetz der Multiplikation gilt, er ist dann sogar ein Schiefkörper. Mit anderen Worten: Eine algebraische Struktur, die zugleich Halbkörper und Fastkörper ist, ist zwingend ein Schiefkörper.
  • Die beiden vorigen Aussage gelten wortgleich für „Alternativkörper“ an Stelle von „Halbkörper“.

Beispiele

Anmerkung

  1. In der englischsprachigen Fachliteratur wird häufiger den „Rechts“-Versionen, in der deutschsprachigen eher den „Links“-Versionen der Vorzug gegeben. In allen Fällen werden die qualifizierenden Angaben („Linksquasikörper“ usw.) allenfalls am Anfang bei der Definition der Strukturen verwendet. Vergleiche Weibel (2007) S. 1300.
Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 02.05. 2021