Kartesische Gruppe

Eine Kartesische Gruppe (auch: Cartesische Gruppe, engl. Cartesian Group) ist eine algebraische Struktur, die in der synthetischen Geometrie als Koordinatenbereich für bestimmte affine und projektive Ebenen dient. Der Begriff geht auf Reinhold Baer zurück. Jede Kartesische Gruppe kann zu einem Ternärkörper gemacht werden, jeder Quasikörper ist eine Kartesische Gruppe. Die projektive Ebene über einer Kartesischen Gruppe gehört der Lenz-Klasse II oder einer höheren Klasse (III, IVa, IVb, V oder VII) an.

Definition

Eine Menge K mit den zweistelligen Verknüpfungen +,\;\cdot und zwei verschiedenen Strukturkonstanten 0,1\in K heißt Kartesische Gruppe, wenn die folgenden Axiome gelten:

  1. (K,+) ist eine Gruppe mit dem neutralen Element 0.
  2. Es gilt {\displaystyle 0\cdot x=x\cdot 0=0} und {\displaystyle 1\cdot x=x\cdot 1=x}
  3. Sind a,b,c\in K und gilt a\neq b, dann gibt es genau ein x\in K und mindestens ein y\in K, so dass {\displaystyle xa=c+xb} und {\displaystyle by=ay+c} gilt.

Gleichwertig: (K,+,\cdot,0,1) ist genau dann eine Kartesische Gruppe, wenn

  1. (K,T,0,1) mit der Ternärverknüpfung {\displaystyle T(a,b,c)=a\cdot b+c} ein Ternärkörper ist und
  2. in (K,+,0) das Assoziativgesetz gilt, also für a,b,c\in K stets {\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c} erfüllt ist.

Eigenschaften und Bemerkungen

Beispiele

Koordinatenbereiche angeordneter und ebener projektiver Ebenen

Lässt eine affine Ebene eine („starke“) Anordnung zu, dann ist dadurch auch ihr projektiver Abschluss eine angeordnete projektive Ebene. Dann ist auch ihr Koordinatenternärkörper angeordnet und damit unendlich. In den 1960er Jahren wurden einige Beispiele für angeordnete, echte Kartesische Gruppen gefunden, die solche angeordneten Ebenen koordinatisieren.[1]

Eine angeordnete projektive Ebene wird als ebene projektive Ebene bezeichnet, wenn sie in ihrer „natürlichen“ Topologie, die hier durch die Anordnung eines (und damit jedes) ihrer Koordinatenternärkörper induziert wird, homöomorph zur gewöhnlichen reellen projektiven Ebene ist. Der Koordinatenternärkörper einer ebenen projektiven Ebene lässt dann immer eine archimedische Anordnung zu.

{\displaystyle a\ast _{c}b={\begin{cases}a\cdot c\cdot b&a<0\land b<0\\a\cdot b&{\text{sonst.}}\end{cases}}}
mit einer positiven Konstante {\displaystyle c\neq 1}. Dann ist {\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\ast _{c},0,1)} eine Kartesische Gruppe mit kommutativer Addition und kommutativer, nicht assoziativer Multiplikation. Keines der Distributivgesetze ist erfüllt, daher handelt es sich nicht um einen Quasikörper.
  • Offensichtlich kann im letzten Beispiel an Stelle von \mathbb {R} jeder beliebige geordnete Körper zugrunde gelegt werden. Dies führt zu unendlich vielen, nicht isomorphen Kartesischen Gruppen, die alle unendlich viele Elemente enthalten. Die projektiven Ebenen sind angeordnete projektive Ebenen der Lenz-Barlotti-Klasse III.2 und, sofern der Grundkörper ein Teilkörper der reellen Zahlen ist, archimedisch angeordnet und daher homöomorph zu einer Unterebene der reellen projektiven Ebene.
  • Man kann bei der obigen modifizierten Multiplikation für eine Moulton-Ebenen auch von einem nichtkommutativen, angeordneten Schiefkörper K anstelle eines kommutativen Körpers ausgehen. Auch dann bildet {\displaystyle K_{c}=(K,+,\ast _{c},0,1)} stets eine Kartesische Gruppe. Eine projektive Ebene, die durch K_{c} koordinatisiert werden kann, ist eine angeordnete, nichtdesarguessche projektive Ebene und hat den Lenz-Barlotti Typ III.2, falls c im Zentrum von K liegt und sonst den Lenz-Barlotti Typ III.1. Da nichtkommutative angeordnete Schiefkörper nicht archimedisch geordnet sein können, sind auch diese Ebenen nicht archimedisch geordnet.
{\displaystyle a\circ x={\begin{cases}a\cdot x&(0\leq a,x),\\a\cdot x^{\rho ^{-1}}&(a<0<x),\\a^{\sigma ^{-1}}\cdot x&(x<0<a),\\k\cdot (-a)^{\sigma \tau ^{-1}}\cdot (-x)^{\sigma \tau ^{-1}}&(a,x<0).\end{cases}}}
Jede solche Kartesische Gruppe {\displaystyle C(k,\rho ,\sigma )} koordinatisiert eine von den Parametern {\displaystyle 0<k,\rho ,\sigma \in \mathbb {R} ,\sigma <1} abhängige, nichtdesarguessche, angeordnete, ebene projektive Ebene, die für {\displaystyle (\rho ,\sigma )\neq (1,1)} zur Lenz-Barlotti Klasse II.1 gehört.
{\displaystyle s\circ x=\alpha ^{-1}(\alpha (s)\cdot \alpha (x))\quad \mathrm {mit} \quad \alpha (x)={\begin{cases}x&(|x|<1),\\{\frac {1}{2}}(x+\operatorname {sgn}(x))&(|x|\geq 1),\end{cases}}}
dann erhält man eine Kartesische Gruppe {\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\circ )}, die eine ebene projektive Ebene vom Lenz-Barlotti-Typ II.2 koordinatisiert.

Anmerkung

  1. Alle in diesem Abschnitt getroffenen Aussagen und genannten Beispiele finden sich mit Nachweis der Originalliteratur im Buch von Prieß-Crampe Angeordnete Strukturen. Gruppen, Körper, projektive Ebenen (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 98). Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1983, ISBN 3-540-11646-X
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 29.08. 2022