Angeordnete Gruppe

In der Gruppentheorie, einer Teildisziplin der Mathematik, ist eine angeordnete Gruppe (engl. left-orderable group) eine Gruppe zusammen mit einer totalen Ordnung „“, die mit der durch die Multiplikation gegebenen Linkstranslation verträglich ist. Bekannte Beispiele sind die Gruppen der ganzen und reellen Zahlen.

Definition

Sei eine Gruppe. Eine links-invariante Anordnung auf ist eine totale Ordnung, so dass für alle $a,b,c\in G$ gilt:

$a<b\Longleftrightarrow ca<cb$ .

Eine angeordnete Gruppe ist eine Gruppe mit einer links-invarianten Ordnung.

Äquivalent kann man eine links-invariante Ordnung charakterisieren durch eine disjunkte Zerlegung

$G=P\cup N\cup \left\{Id\right\}$

mit $P\cdot P\subset P$ und $P^{-1}=N$ .

Die Anordnung ergibt sich aus der Zerlegung via

$a<b\Longleftrightarrow a^{-1}b\in P$ .

Beispiele

$\mathbb {Z}$ und $\mathbb {R}$ sind angeordnete Gruppen.
Wenn es in einer Gruppe Torsionselemente (d.h. Elemente endlicher Ordnung) gibt, dann kann die Gruppe keine links-invariante Anordnung haben.
Jede torsionsfreie abelsche Gruppe ist eine angeordnete Gruppe.
Freie Gruppen sind angeordnet.
$SL(2,\mathbb{R} )$ und $SL(2,\mathbb {Z} \left[{\frac {1}{p}}\right])$ besitzen keine links-invariante Anordnung.
Satz von Dehornoy: Zopfgruppen sind angeordnet.
Satz von Rourke-Wiest: Abbildungsklassengruppen von Flächen mit nichtleerem Rand sind angeordnet.
Satz von Boyer-Rolfsen-Wiest: Fundamentalgruppen $\pi _{1}M$ von kompakten, $P^{2}$ -irreduziblen 3-Mannigfaltigkeiten mit $b_{1}(M)>0$ sind angeordnet.
Wenn und angeordnete Gruppen sind und

$0\rightarrow K\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0$

eine kurze exakte Sequenz ist, dann besitzt eine links-invariante Anordnung, die mit der von kompatibel ist und für die die Abbildung $G\rightarrow H$ monoton ist.

Satz von Burns-Hale: Eine Gruppe besitzt eine links-invariante Anordnung, wenn es zu jeder endlich erzeugten Untergruppe $H\subset G$ einen surjektiven Homomorphismus $\phi :H\rightarrow L_{H}$ auf eine angeordnete Gruppe $L_{H}\not =1$ gibt. Insbesondere besitzt eine links-invariante Anordnung, wenn für jede endlich erzeugte Untergruppe $H\subset G$ gilt: $H^{1}(H,\mathbb {Z} )\not =0$ .
Die universelle Überlagerung von $SL(2,{\mathbb R})$ ist eine angeordnete Gruppe, obwohl $H^{1}(H,\mathbb {Z} )=0$ für alle ihre endlich erzeugten Untergruppen gilt.
Eine abzählbare Gruppe besitzt eine links-invariante Anordnung dann und nur dann, wenn sie isomorph zu einer Untergruppe von $Homeo^{+}(\mathbb {R} )$ , der Gruppe der orientierungs-erhaltenden Homöomorphismen des ${\mathbb R}^{1}$ , ist.
Satz von Hölder: Eine Gruppe besitzt eine links-invariante archimedische Anordnung dann und nur dann, wenn sie isomorph zu einer Untergruppe von $\mathbb {R}$ ist.

Bi-invariante Anordnungen

Eine rechts-invariante Anordnung auf einer Gruppe ist eine totale Ordnung, so dass für alle $a,b,c\in G$ gilt:

$a<b\Longleftrightarrow ac<bc$ .

Jede angeordnete Gruppe besitzt auch eine rechts-invariante Anordnung, die aber im Allgemeinen nicht mit der links-invarianten Anordnung übereinstimmt.

Eine bi-invariante Anordnung ist eine Anordnung, die gleichzeitig links- und rechts-invariant ist. Zum Beispiel besitzen torsionsfreie abelsche Gruppen oder die reine Zopfgruppe eine bi-invariante Anordnung.

Siehe auch

Geordnete abelsche Gruppe

Basierend auf einem Artikel in:

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