Spezifischer Widerstand

Physikalische Größe
Name spezifischer Widerstand
Formelzeichen \rho
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI Ω·mm2·m−1 M·L3·I−2·T−3
Gauß (cgs) s T
esE (cgs) s T
emE (cgs) abΩ·cm L2·T−1
Siehe auch: elektrische Leitfähigkeit

Der spezifische Widerstand (kurz für spezifischer elektrischer Widerstand oder auch Resistivität) ist eine temperaturabhängige Materialkonstante mit dem Formelzeichen \rho (griech. rho). Er wird vor allem zur Berechnung des elektrischen Widerstands einer (homogenen) elektrischen Leitung oder einer Widerstands-Geometrie genutzt. Die abgeleitete SI-Einheit für diesen Zweck ist  [\rho] = \mathrm\tfrac{\Omega \cdot mm^2}{m}. Für wissenschaftliche Zwecke wird üblicherweise die Einheit [\rho] =\Omega \mathrm m (dimensionengekürzt) genutzt.

Der Kehrwert des spezifischen Widerstands ist die elektrische Leitfähigkeit.

Ursache und Temperaturabhängigkeit

Verantwortlich für den spezifischen elektrischen Widerstand in reinen Metallen sind zwei Anteile, die sich gemäß der Matthiessenschen Regel überlagern:

Der temperaturabhängige Anteil am spezifischen Widerstand ist bei allen Leitern in einem jeweils begrenzten Temperaturbereich näherungsweise linear:

\rho (T)=\rho (T_{0})\cdot (1+\alpha \cdot (T-T_{0}))

wobei α der Temperaturkoeffizient, T die Temperatur und T0 eine beliebige Temperatur, z.B. T0 = 293,15 K = 20 °C, bei der der spezifische elektrische Widerstand ρ(T0) bekannt ist (siehe Tabelle unten).

Je nach Vorzeichen des linearen Temperaturkoeffizienten unterscheidet man zwischen Kaltleitern (engl.: positive temperature coefficient of resistance, PTC) und Heißleitern (engl.: negative temperature coefficient of resistance, NTC). Die lineare Temperaturabhängigkeit gilt nur in einem begrenzten Temperaturintervall. Dieses kann bei reinen Metallen vergleichsweise groß sein. Darüber hinaus muss man Korrekturen anbringen.

Der spezifische elektrische Widerstand von Legierungen ist nur gering von der Temperatur abhängig, hier überwiegt der Anteil der Störstellen. Ausgenutzt wird dies beispielsweise bei Konstantan oder Manganin.

Spezifischer Widerstand als Tensor

Bei den meisten Materialien ist der elektrische Widerstand richtungsunabhängig (isotrop). Für den spezifischen Widerstand genügt dann eine einfache skalare Größe, also eine Zahl mit Einheit.

Anisotropie beim elektrischen Widerstand findet man bei Einkristallen (oder Vielkristallen mit Vorzugsrichtung) mit weniger als kubischer Symmetrie. Die meisten Metalle haben kubische Kristallstruktur und sind schon daher isotrop. Zusätzlich hat man oft eine viel-kristalline Form ohne ausgeprägte Vorzugsrichtung (Textur). Ein Beispiel für anisotropen spezifischen Widerstand ist Graphit als Einkristall oder mit Vorzugsrichtung. Der spezifische Widerstand ist dann ein Tensor 2. Stufe, der die elektrische Feldstärke {\vec  E} mit der elektrischen Stromdichte {\vec  j} verknüpft.

{\vec  E}=\rho \cdot {\vec  j}

Zusammenhang mit dem elektrischen Widerstand

Der elektrische Widerstand eines Leiters mit einer über seine Länge konstanten Querschnittsfläche (Schnitt senkrecht zur Längsachse eines Körpers) beträgt:

Widerstand mit Kontakten an beiden Enden
R=\rho \cdot {\frac  {l}{A}}

wobei R der elektrische Widerstand, ρ der spezifische Widerstand, l die Länge und A die Querschnittsfläche des Leiters ist.

Folglich kann man \rho aus der Messung des Widerstandes eines Leiterstückes bekannter Geometrie bestimmen:

\rho ={R}\cdot {\frac  {A}{l}}

Die Querschnittsfläche A eines runden Leiters (zum Beispiel einem Draht) errechnet sich aus dem Durchmesser d zu:

A=\pi \cdot {\frac  {d^{2}}{4}}

Die Voraussetzung für die Gültigkeit dieser Formel für den elektrischen Widerstand R ist eine konstante Stromdichteverteilung über den Leiterquerschnitt A, das heißt, an jedem Punkt des Leiterquerschnitts ist die Stromdichte J gleich groß. Näherungsweise ist das gegeben, wenn die Länge des Leiters groß im Vergleich zu den Abmessungen seines Querschnitts ist und der Strom ein Gleichstrom oder niederfrequent ist. Bei hohen Frequenzen führen der Skin-Effekt und bei inhomogenen hochfrequenten Magnetfeldern und Geometrien der Proximity-Effekt zu einer inhomogenen Stromdichteverteilung.

Weitere aus dem spezifischen Widerstand ableitbare Kenngrößen sind:

Einteilung von Materialien

In der Praxis wird bei dünnen Leitern der spezifische Widerstand nur selten in \Omega {\mathrm  m} angegeben, sondern meistens in {\mathrm  {{\frac  {\Omega \cdot mm^{2}}{m}}}}. Die Einheit \Omega {\mathrm  m} wird bei Werkstoffproben mit großem Querschnitt verwendet. Es gilt:

{\mathrm  {1\,{\frac  {\Omega mm^{2}}{m}}=10^{{-6}}\Omega m}}

Der spezifische Widerstand eines Materials wird häufig für die Einordnung als Leiter, Halbleiter oder Isolator verwendet. Die Unterscheidung erfolgt anhand des spezifischen Widerstands:

Anzumerken ist, dass diese Einteilung keine festen Grenzen kennt und daher nur als Richtwert zu betrachten ist. Daher finden sich in der Literatur auch Angaben, die um bis zu zwei Größenordnungen abweichen können. Ein Grund dafür ist die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstands, vor allem bei Halbleitern. Eine Einteilung anhand der Lage des Fermi-Niveaus ist hier sinnvoller.

Spezifischer Widerstand verschiedener Materialien

Spezifischer Widerstand ausgewählter Materialien bei 20 °C
Material Spezifischer Widerstand
in Ω · mm2/m
Linearer Widerstands-
Temperaturkoeffizient
in 1/K
Akkusäure p5041.51,5·104  
Aluminium p4982.652,65·10−2 3,9 ⋅ 10−3
Blei p4992.082,08·10−1 4,2 ⋅ 10−3
Eisen p4991.01,0·10−1 bis 1,5 ⋅ 10−1 5,6 ⋅ 10−3
Germanium p5054.64,6·105  
Glas p51611·1016 bis 1 ⋅ 1021  
Glimmer p51511·1015 bis 1 ⋅ 1018  
Gold p4982.2142,214·10−2 3,9 ⋅ 10−3
Graphit p50088 −2 ⋅ 10−4
Kohlenstoff p5013.53,5·101 −2 ⋅ 10−4
Kupfer (rein, „IACS“) p4981.7211,721·10−2 3,9 ⋅ 10−3
Nickel p4986.936,93·10−2 p4976.76,7·10−3
Platin p4991.051,05·10−1 3,8 ⋅ 10−3
Quarz-glas p5237.57,5·1023  
Schwefel p52111·1021  
Schwefelsäure (10 %) p5042.52,5·104  
Silber p4981.5871,587·10−2 3,8 ⋅ 10−3
Titan p49988·10−1  
Wasser (reinst) p51211·1012  
Wolfram p4985.285,28·10−2 4,1 ⋅ 10−3
Zinn p4991.091,09·10−1 4,5 ⋅ 10−3

Beispiel

Es ist gegeben:

Gesucht ist: R_\text{spez} = \color {Orange}\rho

Rechnung:

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 18.10. 2021