Hall-Effekt

Verdeutlichung des Hall-Effekts:
In Zeichnung A nimmt die Hall-Sonde an der Oberseite eine negative Ladung an (symbolisiert durch die blaue Farbe) und eine positive Ladung an der Unterseite (rote Farbe). In den Zeichnungen B und C ist das elektrische bzw. das magnetische Feld umgekehrt, so dass die Ladungspolarisation vertauscht ist. In der Zeichnung D sind beide Felder umgekehrt, so dass sich wieder die gleiche Polarisation wie in Zeichnung A einstellt. Legende:
1 Elektronen
2 Hallelement oder Hallsonde
3 Magnete
4 Magnetfeld
5 Stromquelle

Wenn sich ein stromdurchflossener Leiter in einem stationären Magnetfeld befindet, tritt senkrecht zu beiden eine elektrische Spannung auf, dies ist der Hall-Effekt [ 'hɔːl-], benannt nach Edwin Hall.

Die Größe der Hall-Spannung $U_{\mathrm {H} }$ kann mit Hilfe der weiter unten hergeleiteten Gleichung

$U_{\mathrm {H} }=A_{\mathrm {H} }\,{\frac {IB}{d}}$

aus Stromstärke , magnetischer Flussdichte , Dicke der Probe (parallel zu ) und einer Materialkonstanten – der sogenannten Hall-Konstanten (auch: Hall-Koeffizient) $A_{\mathrm {H} }$ – berechnet werden.

Erklärung

Halleffekt und Stromlinien am dünnen Leiter

Der Hall-Effekt tritt in einem stromdurchflossenen elektrischen Leiter auf, der sich in einem Magnetfeld befindet, wobei sich ein elektrisches Feld aufbaut, das zur Stromrichtung und zum Magnetfeld senkrecht steht und das die auf die Elektronen wirkende Lorentzkraft kompensiert.

Durch Anlegen einer Spannung an die Probe fließt ein Strom. Die Ladungsträger sind im Allgemeinen Elektronen, es kann aber auch Löcherleitung in entsprechend dotierten Halbleitern vorherrschen. Die Elektronen bewegen sich entgegen der technischen Stromrichtung mit einer mittleren Geschwindigkeit (Driftgeschwindigkeit) durch den Leiter. Wegen der durch das Magnetfeld verursachten Lorentz-Kraft wird das Elektron senkrecht zu seiner Bewegungsrichtung abgelenkt. Hierdurch kommt es auf der entsprechenden Seite des Leiters zu einem Elektronenüberschuss (blau hervorgehoben), während es auf der gegenüberliegenden Seite im selben Maße zu einem Elektronenmangel kommt (rot hervorgehoben). Man hat es also mit einer Ladungstrennung zu tun, vergleichbar mit der eines Kondensators. Die sich nun gegenüberstehenden negativen und positiven Ladungsüberschüsse verursachen ein elektrisches Feld, das eine Kraft auf die Elektronen ausübt, die der Lorentz-Kraft entgegengerichtet ist. Die Verstärkung der Ladungstrennung kommt zum Stillstand, wenn sich beide Kräfte gerade kompensieren. Wie beim Kondensator kann eine Spannung abgegriffen werden, die hier als Hall-Spannung bezeichnet wird. Die Hall-Spannung folgt Strom- und Magnetfeldänderungen in der Regel unmittelbar. Sie steigt mit dem Magnetfeld linear an und ist antiproportional zur (vorzeichenbehafteten) Ladungsträgerdichte^{[Anm.
1]}, da eine geringere Anzahl von Ladungsträgern nur bei höherer Geschwindigkeit der Einzelladungen zu einer unveränderten Stromstärke führen kann. Auf die schnelleren Ladungsträger wirkt eine höhere Lorentz-Kraft, wodurch die Hall-Spannung größer wird. Da die Ladungsträgerdichte in Halbleitern bedeutend kleiner ist als in Metallen, werden vorwiegend Halbleiter als Hall-Sonden benutzt.

Die Hallspannung ist insbesondere unabhängig vom spezifischen Widerstand der Probe. Der Hall-Effekt wird sowohl zum Messen von Magnetfeldern (mit Hall-Sonde) als auch zur Bestimmung der Ladungsträgerart (Elektronen oder Löcher) und deren Dichte eingesetzt.

Die spezifischen Eigenschaften des Leitungsvorganges werden durch die Hall-Konstante $A_{\mathrm {H} }$ wiedergegeben.

Geschichte

Edwin Hall beschrieb den später nach ihm benannten Effekt 1879^[1] im Rahmen seiner Promotionsarbeit. Nach eigener Aussage wurde er durch eine Aussage von James Clerk Maxwell dazu motiviert, diesen Effekt zu suchen, denn diese Aussage Maxwells erschien ihm unnatürlich:

“It must be carefully remembered that the mechanical force which urges a conductor carrying a current across the lines of magnetic force acts, not on the electric current, but on the conductor which carries it. – The only force which acts on electric currents is electromotive force.”

„Es muss daran achtsam erinnert werden, dass die mechanische Kraft, die einen stromführenden Leiter quer durch die Linien der Magnetkraft drängt, nicht auf den elektrischen Strom wirkt, sondern auf den Leiter, der ihn trägt. – Die einzige Kraft, die auf einen elektrischen Strom wirkt, ist die elektromotorische Kraft.“

Vor Hall hatten schon eine Reihe anderer Physiker einen solchen Effekt gesucht (etwa Feilitzsch, Mach, Wiedemann und sein Doktorvater Rowland), aber erst er erreichte eine ausreichende Messempfindlichkeit. Seine Doktorarbeit enthielt Messungen des Hall-Effekts in Gold. Zu späteren Messungen bemerkte Kelvin:

“The subject of the communication is by far the greatest discovery that has been made in respect to the electrical properties of metals since the times of Faraday – a discovery comparable with the greatest made by Faraday.”

„Der Inhalt der Mitteilung ist bei weitem die größte Entdeckung auf dem Gebiet elektrischer Eigenschaften der Metalle seit der Zeit Faradays – eine Entdeckung vergleichbar mit der Größten von Faraday.“

Herleitung

Verwendete Größen
${\vec {B}}$	Magnetische Flussdichte
${\vec {E}}$	Elektrische Feldstärke
${\vec {F}}$	Kraft auf die Ladungsträger
$U_{\mathrm {H} }$	Hall-Spannung
	Elektrische Stromstärke
${\vec {j}}$	Elektrische Stromdichte
${\vec {v}}$	Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger
	Breite des Leiters
	Dicke des Leiters
	Ladungsträgerdichte
	Ladung eines Ladungsträgers
$A_{\mathrm {H} }$	Hall-Konstante

Zum Verständnis dieses Abschnitts sind Grundkenntnisse in der Vektorrechnung und Elektrodynamik hilfreich.

An dieser Stelle soll eine kurze Herleitung der Formel für die Hallspannung skizziert werden. Die Gültigkeit der Herleitung beschränkt sich dabei auf elektrische Leiter mit nur einer Sorte von Ladungsträgern, wie bei Metallen (Elektronen) oder stark dotierten Halbleitern (stark überwiegend entweder Löcher oder Elektronen).

Bewegte Ladungsträger in einem magnetischen Feld erfahren die Lorentzkraft:

${\vec {F}}=q\,({\vec {v}}\times {\vec {B}})$

Beim Hall-Effekt baut sich ein kompensierendes elektrisches Feld auf, das die ablenkende Wirkung des Magnetfeldes neutralisiert. Für die resultierende Kraft auf die Ladungsträger muss folglich gelten:

$q\,({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})=0$

Der Einfachheit halber wird das Koordinatensystem so gelegt, dass sich die Ladungsträger in -Richtung bewegen und das Magnetfeld in -Richtung wirkt. Es ist also ${\vec {v}}=(v_{x},0,0)$ und ${\vec {B}}=(0,0,B_{z})$ . Damit wird die y-Komponente der obigen Gleichung nach Division durch zu:

$\left.E_{y}-v_{x}B_{z}=0\right.\,$

Die Stromdichte ${\vec {j}}$ im Leiter lässt sich allgemein durch ${\vec {j}}=nq{\vec {v}}$ ausdrücken. Löst man diese Beziehung nach $v_{x}$ auf und setzt sie in obige Gleichung, so erhält man

$E_{y}={\frac {1}{nq}}\,j_{x}B_{z}=A_{\mathrm {H} }\,j_{x}B_{z}$

Über diese Beziehung wird die Hall-Konstante $A_{\mathrm {H} }$ definiert, welche die Stärke des Hall-Effektes charakterisiert.

Um die Gleichung etwas handlicher zu machen, kann man den Leiter, in dem ja eine Ladungstrennung stattgefunden hat, als Plattenkondensator auffassen.^{[Anm. 2]} Für diesen gilt die Beziehung

$E_{y}={\frac {U_{\mathrm {H} }}{b}}$ .

Außerdem kann die Stromdichte $j_{x}$ im vorliegenden Fall durch $j_{x}={\frac {I}{bd}}$ ausgedrückt werden. Setzt man diese beiden Schreibweisen ein, so erhält man für die Hallspannung $U_{\mathrm {H} }$ einen nur noch von einfach messbaren Größen abhängenden Ausdruck:

$U_{\mathrm {H} }=A_{\mathrm {H} }\,{\frac {IB_{z}}{d}}$ .

Diese Gleichung ist auch für Leiter mit verschiedenen Sorten von Ladungsträgern korrekt, jedoch lässt sich dann die Hall-Konstante nicht mehr durch $A_{\mathrm {H} }={\frac {1}{nq}}$ berechnen. Aus der Gleichung lässt sich der sogenannte Hall-Widerstand angeben:

$R(B)=A_{\mathrm {H} }\,{\frac {B_{z}}{d}}$

Der Hall-Widerstand charakterisiert ein Hallelement, hat jedoch nichts mit dem gemessenen elektrischen Widerstand an einem Hallelement zu tun. Er gibt das Verhältnis Hallspannung zu Strom eines Hallelementes bei einer bestimmten magnetischen Flussdichte an:

$R(B)={\frac {U_{\text{H}}}{I}}$

Anwendung

Germanium-Hall-Effekt-Wafer

In der Elektronik wird der Hall-Effekt in sogenannten Hallsonden zur Messung der magnetischen Flussdichte benutzt. Fließt ein Strom durch den Leiter, so kann durch das Messen der erzeugten Hall-Spannung nach obiger Formel berechnet werden. Materialien mit großer Hall-Konstante zeichnen sich dabei mit einer hohen Empfindlichkeit aus. Aus diesem Grund werden meist Halbleitermaterialien verwendet. Die Massenfertigung zum breiten Einsatz in der Industrie wurde erst durch die Integration von Hall-Platten in CMOS-Technologie möglich. Erst damit können Temperaturabhängigkeiten und andere Effekte kompensiert und die Hallspannung entsprechend ausgewertet und digital aufbereitet werden. Heute gibt es immer komplexere Hall-Sensoren auf CMOS-Basis in Anwendungen zur Winkel-, Positions-, Geschwindigkeits- und Strommessung.

Ein weiteres Anwendungsgebiet ist die Bestimmung von Ladungsträgerdichten durch Messen der Hall-Konstanten. Durch eine zusätzliche Messung der elektrischen Leitfähigkeit (oder des spezifischen Widerstands) ist es zudem möglich, die Beweglichkeit der Ladungsträger im Material zu ermitteln. Eine komfortable Methode zur Bestimmung des spezifischen Widerstandes und der Hallkonstanten an dünnen Schichten ist die Van-der-Pauw-Messmethode.

Ein elektronischer Kompass kann mit Hallsonden gebaut werden.

Praktische Anwendungen finden sich auch in der Raumfahrt, bei Hall-Ionentriebwerken

Verwandte Effekte

Quanten-Hall-Effekt

→ Hauptartikel: Quanten-Hall-Effekt

Schon um 1930 hatte Landau den Gedanken, dass bei sehr tiefen Temperaturen, starken Magnetfeldern und zweidimensionalen Leitern Quanteneffekte auftreten sollten. Der Quanten-Hall-Effekt bewirkt, dass in zweidimensionalen Systemen bei sehr starken Magnetfeldern und tiefen Temperaturen (wenige Kelvin) die Hall-Spannung $U_{\mathrm {H} }$ geteilt durch den Strom nicht beliebig variieren kann, wenn die Magnetfeldstärke variiert wird, sondern dass das Verhältnis in Stufen variiert. $U_{\mathrm {H} }/I$ ist z.B. an Grenz- oder Oberflächen unter den angegebenen Bedingungen immer ein ganzzahliger Bruchteil der Von-Klitzing-Konstanten

$R_{\mathrm {K} }={\frac {h}{e^{2}}}=25812{,}807...\,\mathrm {\Omega } \,\,$ ^{[Anm.
3]}

(in der Einheit Ohm=Volt/Ampere; ist die plancksche Konstante, die Elementarladung). Die angegebenen Stufenwerte für das Verhältnis $U_{H}/I$ sind also: $R_{\mathrm {K} }$ , $R_{\mathrm {K} }/2$ , $R_{\mathrm {K} }/3$ und so weiter. Die Genauigkeit, mit der diese Plateaus reproduziert werden können, ist so gut, dass $R_{\mathrm {K} }$ durch internationale Verträge als Normal für den elektrischen Widerstand festgelegt wurde. Der Quanten-Hall-Effekt ist weitgehend verstanden. Klaus von Klitzing bekam für diese Entdeckung 1985 den Nobelpreis.

Spin-Hall-Effekt

Wenn sich Elektronen durch einen Festkörper bewegen, werden sie durch quantenmechanische Effekte seitlich abgelenkt – je nach Ausrichtung des Spins (Eigendrehimpuls des Elektrons) nach rechts oder links. Es entsteht ein „Spin-Strom“ in transversaler Richtung. Im Gegensatz zum gewöhnlichen Hall-Effekt ist für diesen so genannte „Spin-Hall-Effekt“ kein externes magnetisches Feld erforderlich, der Effekt entsteht durch extrinsische (z.B. durch Störstellen) oder durch intrinsische Mechanismen (z.B. durch die Spin-Bahn-Kopplung).

Planarer Hall-Effekt

Der sogenannte planare Hall-Effekt ist ein magnetoresistiver Effekt in ferromagnetischen Materialien, der trotz des Namens nichts mit dem gewöhnlichen Hall-Effekt zu tun hat. Der Hauptunterschied zum gewöhnlichen Hall-Effekt – und zugleich Grund für die Namensgebung – ist, dass in diesem Fall das Magnetfeld nicht senkrecht zur Probe, sondern in der Probe (also „planar“) verläuft, aber „quer“ zum longitudinalen Strom, wobei ebenfalls extrinsische und intrinsische Effekte unterschieden werden. Insofern ist der Spin-Hall-Effekt eher analog zum planaren Hall-Effekt als zum gewöhnlichen Hall-Effekt.

Thermischer Hall-Effekt

Der Righi-Leduc-Effekt, auch „Thermischer Hall-Effekt“ (engl.: thermal Hall effect) genannt, beschreibt das Auftreten einer transversalen Temperaturdifferenz, wenn Wärme durch einen Leiter fließt, der sich in einem stationären Magnetfeld befindet. Er ist das thermomagnetische Analogon zum Hall-Effekt.

Nernst-Effekt

→ Hauptartikel: Nernst-Effekt

Der Nernst-Effekt beschreibt das Auftreten einer transversalen Spannung, wenn Wärme durch einen Leiter fließt, der sich in einem stationären Magnetfeld befindet.

Anmerkungen

↑ Die Ladungsträgerdichte ist hier natürlich eine Volumendichte, Gesamtladung / {Länge mal Breite mal Höhe} der Probe (die „Höhe“ wird im Artikel auch als „Dicke“ bezeichnet und d genannt). Im Zusammenhang mit dem Quanten-Hall-Effekt, wo es nur um den Hall-Effekt an (zweidimensionalen!) sog. Hall-Streifen geht, ist die Ladungsträgerdichte dagegen eine Flächendichte, weil der Quotient … / ( … Höhe) fehlt; während gleichzeitig d durch 1 ersetzt wird (man könnte auch sagen: „Volumendichte mal d = Flächendichte“).
↑ Setzt man voraus, dass sich alle Ladungsträger gleich schnell bewegen und das Magnetfeld homogen ist, dann wird auf jeden Ladungsträger die gleiche Lorentzkraft ausgeübt. Im Gleichgewichtsfall ist dann die elektrische Kraft auf jeden Ladungsträger gleich groß wie die Lorentzkraft, sonst wäre es ja noch kein Gleichgewicht. Also sind die elektrischen Kräfte ja überall im Leiter gleich groß. Ein solches elektrisches Feld heißt homogen, dafür gilt die Formel, die auch für den Plattenkondensator gilt und mit diesem verbunden wird.
↑ Die Konstante R_K ist exakt bekannt, weil h und e zur Definition der Maßeinheiten dienen und ihnen ein exakter Wert zugewiesen wurde.

Literatur

Charles Kittel: Einführung in die Festkörperphysik. Oldenbourg, 5. Auflage 1980.
P. Grosse: Freie Elektronen in Festkörpern. Springer 1979.
C. M. Hurd: The Hall Effect in metals and alloys. Plenum 1972.
E. H. Putley: The Hall Effect and related phenomena. Butterworth, London 1960.

Basierend auf einem Artikel in:

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