Gyromagnetisches Verhältnis

Das gyromagnetische Verhältnis (auch: magnetogyrisches Verhältnis) $\gamma$ bezeichnet den Proportionalitätsfaktor zwischen dem Drehimpuls (oder Spin) ${\vec X}$ eines Teilchens und dem dazugehörigen magnetischen Moment ${\vec \mu }_{X}$

${\vec \mu }_{X}=\gamma _{X}{\vec X}$ .

Daher folgt: $\gamma _{X}={\frac {|{\vec \mu }_{X}|}{|{\vec X}|}}$ . Die international verwendete Einheit des gyromagnetischen Verhältnisses ist A·s·kg⁻¹ oder auch s⁻¹·T⁻¹.

Das gyromagnetische Verhältnis eines geladenen Teilchens ist das Produkt seines (dimensionslosen) gyromagnetischen Faktors und seines Magnetons $\mu$ , bezogen auf das reduzierte plancksche Wirkungsquantum $\hbar$ :

$\gamma =g\,{\frac {\mu }{\hbar }}$

mit

$\mu ={\frac {q}{2\,m}}\,\hbar$ dem Magneton des Teilchens
: elektrische Ladung
: Teilchenmasse.

Das gyromagnetische Verhältnis kann bestimmt werden unter Ausnutzung des Barnett-Effektes und des Einstein-de-Haas-Effektes. In vielen anderen Experimenten, wie z.B. ferromagnetische Resonanz oder Elektronenspinresonanz, kann der Wert von $\gamma$ deutlich abweichen – in diesem Fall spricht man vom spektroskopischen Splitting-Faktor bzw. -Verhältnis.

γ_ℓ für reinen Bahndrehimpuls eines Elektrons

Wie im Artikel Magnetisches Moment ausgeführt, gilt für das magnetische Moment des Bahndrehimpulses eines Elektrons:

${\vec {\mu _{\ell }}}=-{\frac {e}{2m_{e}}}{\vec \ell }$ .

Mit

der Ladung des Elektrons
$m_{e}$ seiner Masse.

Daher folgt:

$\gamma _{\ell }={\frac {|{\vec {\mu _{\ell }}}|}{|{\vec {\ell }}|}}={\frac {e}{2m_{e}}}={\frac {g_{\ell }\mu _{B}}{\hbar }}$

Mit

$\mu _{B}$ dem Bohrschen Magneton. Der g-Faktor für die Bahnbewegung ist also $g_{\ell }=1.$

γ_S für den Spin eines Teilchens

Betrachtet man ein Teilchen mit Spin ${\vec {S}}$ , so gilt:

${\vec \mu }_{S}=\gamma _{S}{\vec S}$ , beziehungsweise $\gamma _{S}={\frac {|{\vec {\mu _{S}}}|}{|{\vec {S}}|}}$

Der Wert dieser Naturkonstante ist für jede Teilchenart charakteristisch. Nach derzeitiger Messgenauigkeit beträgt sie

für das freie Proton:

$\gamma _{\text{Proton}}=2{,}675\,221\,8744(11)\cdot 10^{8}\ \mathrm {s} ^{-1}\,\mathrm {T} ^{-1}\,$

für das Elektron:

$\gamma _{\text{Elektron}}=1{,}760\,859\,630\,23(53)\cdot 10^{11}\ \mathrm {s} ^{-1}\,\mathrm {T} ^{-1}\,$

dabei geben die eingeklammerten Ziffern jeweils die geschätzte Standardabweichung für den Mittelwert an, der den beiden letzten Ziffern vor der Klammer entspricht.

Der g-Faktor für Spinmagnetismus ist beim freien Elektron fast exakt – bis auf sieben Stellen hinter dem Komma – gleich 2. Beim freien Proton dagegen gilt Analoges keineswegs: das magnetische Moment des Protons liegt zwar der Größenordnung nach bei dem sog. „Kernmagneton“ (das wäre der Wert $|e|\hbar /(2m_{{{\mathrm {Proton}}}})\,$ ), jedoch beträgt es ein krummzahliges Vielfaches dieses Wertes, genauer: das 2,79-fache. Auch das Neutron weist ein magnetisches Moment auf, obwohl es als ganzes elektrisch neutral ist. Sein magnetisches Moment ist das −1.91-fache des Kernmagnetons und zeigt also entgegengesetzt zu demjenigen des Protons. Es lässt sich erklären durch die Substruktur des Neutrons.

Die ferromagnetischen Metalle Eisen, Kobalt und Nickel haben elektronische g-Faktoren ziemlich in der Nähe von 2 (z.B. nur etwa 10 % mehr oder weniger), d.h., dass der Magnetismus dieser Systeme überwiegend Spinmagnetismus ist, aber mit einem geringen Bahnanteil.

Gyromagnetische Verhältnisse von Atomkernen

Auch für Kerne kann dieses Verhältnis gemessen und angegeben werden. In der folgenden Tabelle sind einige Werte angegeben.

Kern	$\gamma _{n}$ in 10⁷ rad·s⁻¹·T⁻¹	$\gamma _{n}/2\pi$ in MHz·T⁻¹
¹H	+26,752	+42,577
²H	0+4,1065	0+6,536
³He	−20,3789	−32,434
⁷Li	+10,3962	+16,546
¹³C	0+6,7262	+10,705
¹⁴N	0+1,9331	0+3,077
¹⁵N	0−2,7116	0−4,316
¹⁷O	0−3,6264	0−5,772
¹⁹F	+25,1662	+40,053
²³Na	0+7,0761	+11,262
³¹P	+10,8291	+17,235
¹²⁹Xe	0−7,3997	−11,777

Siehe auch

Larmorfrequenz

Literatur

Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main, 2000, ISBN 3-8171-1628-4.
Hermann Haken, Hans Christoph Wolf: Atom- und Quantenphysik. 8. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2004, ISBN 3-540-02621-5.

Basierend auf einem Artikel in:

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