Kanonische Transformation

In der klassischen Mechanik bezeichnet man eine aktive Transformation des Phasenraums als kanonisch, wenn sie wesentliche Aspekte der Dynamik invariant lässt. Die Invarianz der hamiltonschen Gleichungen ist dabei ein notwendiges, jedoch nicht hinreichendes, Kriterium. Notwendig und hinreichend ist die Invarianz der Poisson-Klammern, ein weiteres notwendiges Kriterium ist die Invarianz des Phasenraumvolumens. Ziel dabei ist, die neue Hamilton-Funktion möglichst zu vereinfachen, im Idealfall sogar unabhängig von einer oder mehreren Variablen zu machen. In dieser Funktion sind kanonische Transformationen der Ausgangspunkt zum Hamilton-Jacobi-Formalismus. Kanonische Transformationen können aus sogenannten erzeugenden Funktionen konstruiert werden.

Wichtige Beispiele kanonischer Transformationen sind Transformationen des Phasenraums, die von Transformationen des Konfigurationsraums induziert werden – sogenannte Punkttransformationen – sowie der kanonische Fluss bei festgehaltener Zeitkonstanten, also Transformationen des Phasenraums, die durch Fortschreiten der Dynamik um eine konstante Zeitdifferenz entstehen. Die erzeugende Funktion in letzterem Fall ist die Hamiltonsche Prinzipalfunktion und entspricht gerade der Wirkung zwischen den beiden Zeitpunkten, aufgefasst als Funktion der alten und neuen Koordinaten.

Zeitunabhängiger Fall

Im Folgenden wird zunächst nur der einfachere zeitunabhängige Fall behandelt. Der zeitabhängige Fall wird in einem eigenen Abschnitt dargestellt. Ferner sind folgende Ausführungen als lokale Beschreibung der Transformationen in Bündelkarten anzusehen. Für das Verständnis der globalen Zusammenhänge ist die Verwendung des Differentialformenkalküls unerlässlich. Sie werden ebenfalls in einem eigenen Abschnitt dargestellt.

Definition

Man betrachte ein Hamiltonsches System mit f Freiheitsgraden und der Hamilton-Funktion H(q,p) , die von den Koordinaten $q=(q_{1},\ldots ,q_{f})$ und Impulsen $p=(p_{1},\ldots ,p_{f})$ abhängt. Die kanonischen Gleichungen (hamiltonsche Bewegungsgleichungen) lauten somit:

$\dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}(q(t),p(t))\ ,\quad \dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}(q(t),p(t)),$

wobei im Folgenden für die Argumente q(t), p(t) der Übersichtlichkeit halber kurz q, p geschrieben wird. Gesucht sind Transformationen $(q,p) \mapsto (Q(q,p), P(q,p))$ , die die kanonischen Gleichungen invariant lassen, d.h., durch Substitution (q, p) = (q(Q, P), p(Q, P)) in der Hamilton-Funktion H (Q, P) := H(q(Q, P), p(Q, P)) soll dieselbe Dynamik beschrieben werden:

$\dot{Q}_i \equiv \frac{d }{d t} Q_i (q, p) = \sum_j \left( \frac{\partial Q_i}{\partial q_j} \frac{\partial H}{\partial p_j} (q, p) - \frac{\partial Q_i}{\partial p_j} \frac{\partial H}{\partial q_j} (q, p) \right)$

$\overset{!}{=} \frac{\partial H}{\partial P_i} (Q(q, p), P(q, p))$

$\dot{P}_i \equiv \frac{d }{d t} P_i (q, p) = \sum_j \left( \frac{\partial P_i}{\partial q_j} \frac{\partial H}{\partial p_j} (q, p) - \frac{\partial P_i}{\partial p_j} \frac{\partial H}{\partial q_j} (q, p) \right)$

$\overset{!}{=} -\frac{\partial H}{\partial Q_i} (Q(q, p), P(q, p))$

Die Gültigkeit der Hamiltonschen Gleichungen ist äquivalent zum Hamiltonschen Extremalprinzip

$\delta \int_{t_1}^{t_2} d t\,\left( \sum_i p_i \dot q_i - H \right) = 0,$

wobei die p_i(t) und $q_{i}(t)$ unabhängig voneinander variiert werden. Für die gleichzeitige Gültigkeit dieses und des äquivalenten Variationsprinzips für das transformierte System ist es hinreichend, dass sich die Integranden nur bis auf einen konstanten Faktor (d.h. bis auf eine Skalentransformation) und eine totale Zeitableitung unterscheiden:

$\lambda \left( \sum_i p_i \dot{q}_i - H (q, p) \right) = \sum_i P_i \dot{Q}_i - H(Q,P) + \frac{d F}{d t} (q, p)$

Kanonisch (eigentlich lokal kanonisch) heißen gerade die Transformationen, die obige Gleichung mit $\lambda = 1$ erfüllen (solche mit anderen Koeffizienten werden auch als extended canonical transformations bezeichnet und sind immer als Komposition einer kanonischen Transformation und einer Skalentransformation darstellbar). Für diese gilt:

$\sum_i p_i\,dq_i = \sum_i P_i\,dQ_i + dF$

Andere Transformationen, die auch die kanonische Form der Bewegungsgleichungen invariant lassen (denkbar wären auch solche, die eine neue Hamilton-Funktion einführen, wie es ohnehin im zeitabhängigen Fall geschieht), haben den Nachteil, dass sie sich nicht aus einer erzeugenden Funktion herleiten lassen und wichtige Resultate wie z.B. der Satz von Liouville oder die Invarianz der Poisson-Klammern nicht gelten. Beispielsweise lässt auch die Transformation $\bar q = q, \bar p = \lambda p, \bar H(\bar q, \bar p) = \lambda H(\bar q, \bar p / \lambda)$ die kanonischen Gleichungen invariant, wird aber nicht zu den kanonischen Transformationen gezählt.

Poisson-Klammern

Die Poisson-Klammer glatter Funktionen und auf dem Phasenraum bzgl. und ist durch

$\left\{f,g\right\}_{{q,p}}=\sum _{{i=1}}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right)$

definiert. Die Poisson-Klammern bezüglich alter und neuer Koordinaten stimmen überein, es gilt also

$\left\{f,g\right\}_{q,p}\equiv \left\{f,g\right\}_{Q,P}$

genau dann, wenn die Transformation $(q,p) \mapsto (Q,P)$ kanonisch ist (streng genommen, sollten die Funktionen auf der rechten Seite als pushforward f(Q, P) := f(q(Q,P), p(Q,P)) aufgefasst werden). Äquivalent ist ebenfalls die folgende Beziehung zwischen den fundamentalen Poisson-Klammern:

$\left\{ Q_i,P_j \right\}_{q,p} = \delta_{ij} \;,\quad \left\{ Q_i,Q_j \right\}_{q,p} = \left\{ P_i,P_j \right\}_{q,p} = 0$

Dabei ist $\delta _{ij}$ das Kronecker-Delta. Diese Eigenschaft wird auch gelegentlich zur Definition kanonischer Transformationen verwendet.

Erzeugende Funktionen

Kanonische Transformationen können durch erzeugende Funktionen (kurz auch Erzeugende) gefunden und konstruiert werden.

Die Transformation $(q, p) \mapsto (Q, P)$ ist genau dann kanonisch, wenn

$\sum_i p_i\,dq_i = \sum_i P_i\,dQ_i + dF.$

Dabei ist F = F(q, p) eine glatte Funktion auf dem Phasenraum und ihr Differential. Die Funktionalmatrix der Transformation hat die Gestalt

$\begin{pmatrix} (\partial Q_i / \partial q_j)_{\vert p} & (\partial Q_i / \partial p_j)_{\vert q} \\ (\partial P_i / \partial q_j)_{\vert p} & (\partial P_i / \partial p_j)_{\vert q} \end{pmatrix}.$

Von den vier Teilmatrizen können einige singulär sein. Unter ihnen sind jedoch mindestens zwei reguläre, da für die Determinante einer Blockmatrix

$\det \begin{pmatrix} A & B \\ C & D\end{pmatrix} = \det A \cdot \det D - \det B \cdot \det C$

gilt. Für das Folgende sei zunächst angenommen, dass $\det (\partial Q_i / \partial p_j)_{\vert q} \neq 0$ gilt. Dann kann F_1 := F :

$p_{i}={\frac {\partial F_{1}}{\partial q_{i}}},\quad P_{i}=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q_{i}}}$

Falls $\det (\partial Q_i / \partial p_j)_{\vert q} = 0$ , so ist gewiss $\det (\partial Q_i / \partial q_j)_{\vert p} \neq 0$ . Dann kann q = q(Q,p) substituiert werden. Es ist $\sum_i p_i\,dq_i = d \left( \sum_i p_i\,q_i \right) - \sum_i q_i\,dp_i$ . Das heißt:

$\sum_i P_i\,dQ_i = - \sum_i q_i\,dp_i + d \left( \sum_i p_i\,q_i - F \right) =: - \sum_i q_i\,dp_i + d F_3$

Es ergibt sich:

$P_i = - \frac{\partial F_3}{\partial Q_i}, \quad q_i = - \frac{\partial F_3}{\partial p_i}$

Von den Koordinaten (Q_i), (P_i) kann für jeden Index eine ausgewählt werden, um zusammen mit den (q_j) eine Klasse unabhängiger Variablen einer erzeugenden Funktion zu liefern. Demnach gibt es für ein Hamiltonsches System von Freiheitsgraden $2^{n}$ Klassen erzeugender Funktionen. Sie gehen jeweils durch eine Legendre-Transformation ineinander über.

Auf analoge Weise können erzeugende Funktionen der Klassen F_2(q, P) und F_4 (p, P) gewählt werden. Die Transformationsregeln für die vier gängigen Klassen erzeugender Funktionen lauten:

Erzeugende Funktion	Kanonische Transformation
	$p_i = \frac{\partial F_1}{\partial q_i}, P_i = -\frac{\partial F_1}{\partial Q_i}$
$F_2(q, P) = F + \sum_i Q_i P_i$	$p_{i}={\frac {\partial F_{2}}{\partial q_{i}}},Q_{i}={\frac {\partial F_{2}}{\partial P_{i}}}$
$F_3(p, Q) = F - \sum_i q_i p_i$	$q_i = -\frac{\partial F_3}{\partial p_i}, P_i = -\frac{\partial F_3}{\partial Q_i}$
$F_4(p, P) = F + \sum_i \left( Q_i P_i - q_i p_i \right)$	$q_i = -\frac{\partial F_4}{\partial p_i}, Q_i = \frac{\partial F_4}{\partial P_i}$

In der Literatur wird manchmal und manchmal eine der $F_{i}$ als kanonische Transformation bezeichnet, die beiden Begriffe stimmen für die Klasse F_1(q, Q) überein.

Eine wichtige Eigenschaft erzeugender Funktionen der Klasse F_1(q, Q) ist ihre Additivität bei Hintereinanderausführung kanonischer Transformationen. Gilt etwa

$\sum_i p'_i\,dq'_i = \sum_i p_i\,dq_i + d F'_1,$

$\sum_i p''_i\,dq''_i = \sum_i p'_i\,dq'_i + d F''_1,$

so gilt auch

$\sum_i p''_i\,dq''_i = \sum_i p_i\,dq_i + d (F'_1 + F''_1).$

Satz von Liouville

Kanonische Transformationen lassen das Phasenraumvolumen $dq_1 \cdots dq_f\,dp_1 \cdots dp_f$ invariant.

Im geometrischen Formalismus wird das Phasenraumvolumen durch die Differentialform $\omega \wedge \dots \wedge \omega$ beschrieben. Da das Dachprodukt natürlich ist, gilt $\Psi_* (\omega \wedge \dots \wedge \omega ) = \Psi_* \omega \wedge \dots \wedge \Psi_* \omega = \omega \wedge \dots \wedge \omega$ und der Satz von Liouville ist ohne großen Aufwand bewiesen.

Beispiele

Im Folgenden sind einige kanonische Transformationen aufgelistet:

Die identische Transformation ist trivialerweise kanonisch mit der erzeugenden Funktion .

Die Transformation ist nicht kanonisch. Jedoch ist kanonisch.

Punkttransformationen des Konfigurationsraums $q \mapsto Q$ induzieren kanonische Transformationen, wenn die Impulse gemäß $P_i = \sum_j p_j \frac{\partial q_j}{\partial Q_i}$ transformiert werden (es handelt sich um das Transformationsverhalten von Kotangentialvektoren). Als erzeugende Funktion kann $F(q, P) = \sum_i P_i\,Q_i (q)$ verwendet werden.

Die Zeitentwicklung induziert eine lokale kanonische Transformation: Es sei fest gewählt (falls die hamiltonschen Gleichungen keinen vollständigen Fluss erzeugen, muss hinreichend klein gewählt werden). Zu sei eine Integralkurve der hamiltonschen Gleichungen mit und es sei . Die Transformation $(q, p) \mapsto (Q, P)$ hat die Erzeugende

$F(q, Q) = \int_{0}^t dt\,\left( \sum_i p_i (t) \frac{\partial H}{\partial p_i} (q(t), p(t)) - H (q(t), p(t)) \right),$

die Hamiltonsche Prinzipalfunktion oder Wirkungsfunktion.

Lineare Transformationen sind genau dann kanonisch, wenn ihre Matrizen symplektisch sind. Es sei zusammengefasst. Dann ist durch $(z_i)_i \mapsto (\sum_k L_{ik} z_k )_i$ genau dann eine kanonische Transformation gegeben, falls $L^T \cdot M \cdot L = M$ , $M := \begin{pmatrix} 0 & E_f \\ -E_f & 0 \end{pmatrix}$ , wobei $E_{f}$ die Einheitsmatrix bezeichnet. Symplektische Matrizen haben immer die Determinante 1. Ferner ist $\lambda$ genau dann Eigenwert von , wenn $\frac 1 \lambda , \lambda^* , \frac 1 {\lambda^*}$ Eigenwerte sind, und die entsprechenden Eigenräume sind isomorph.

Globale kanonische Transformationen

Für das Verständnis der globalen Zusammenhänge ist der Differentialformenkalkül unerlässlich.

Der Konfigurationsraum eines mechanischen Systems mit Freiheitsgraden wird durch eine glatte -dimensionale Mannigfaltigkeit modelliert. Die Lagrange-Funktion ist eine Funktion der verallgemeinerten Koordinaten und Geschwindigkeiten, also eine glatte Funktion auf dem Tangentialbündel $T(Q) = \bigcup_{q\in Q} \lbrace q \rbrace \times T_q(Q) = \lbrace (q, \dot q) \vert q\in Q, \dot q \in T_q(Q) \rbrace$ . Durch eine Legendre-Transformation wird ein Isomorphismus zwischen dem Tangentialbündel und dem Kotangentialbündel hergestellt gemäß

$\dot q \in T_q (Q) \longleftrightarrow p \in T_q^*(Q),\quad p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q^i}.$

Dabei wird sich hier und im Folgenden, wenn von Koordinaten $q^i, \dot q^i, p_i$ gesprochen wird, immer auf Bündelkarten bezogen, das heißt, die Karten sind von der Form

$\alpha_\varphi : (q, \dot q) \mapsto (\varphi (q), \Theta_{q, \varphi} (\dot q)),$

$\beta_\varphi :(q, p) \mapsto (\varphi (q), (\Theta_{q, \varphi}^{-1})^T (p)),$

wobei $\varphi$ eine Karte von um ist, $\Theta_{q, \varphi} : [\gamma ]_{\sim} \to (\varphi \circ \gamma )'(0)$ definiert ist mit einer den Tangentialvektor $[\gamma ]_\sim$ repräsentierenden Kurve $\gamma (t)$ , und mit einem hochgestellten T die duale Abbildung bezeichnet wird. Diese Kartenwahl hat den Vorteil, dass die natürliche Paarung eines Tangential- und eines Kotangentialvektors mit dem euklidischen Skalarprodukt übereinstimmt $(p \vert \dot q ) = p_i \dot q^i = \alpha_\varphi (p) \cdot \beta_\varphi (\dot q)$ (hier wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet).

Auf dem Kotangentialbündel gibt es einen natürlichen Zusammenhang zwischen Elementen $z = (q, p) \in T^*(Q)$ und Tangentialvektoren $\dot q \in T_q (Q)$ : $(p \vert \dot q) = p_i \dot q^i$ . Dieser Zusammenhang soll nun auf Tangentialvektoren des Kotangentialbündels erweitert werden: Die natürliche Projektion $\Pi : T^*(Q) \to Q, (q, p) \mapsto q$ besitzt die Ableitung $T(\Pi) : T(T^*(Q)) \to T(Q), (q, p ; v^{q^i} \partial_{q^i} + w^{p_i} \partial_{w_i}) \to (q ; v^{q^i} \partial_{q^i})$ . Die für $z \in T^*(Q), v \in T(T^*(Q))$ durch $(\Theta \vert v)(z) := (z \vert T(\Pi ) \cdot v)$ definierte Differential-1-Form auf T^*(Q) heißt kanonische 1-Form, in einer Bündelkarte hat sie die Form $\Theta = p_i\,dq^i$ . Ihr negatives Differential $\omega := - d\Theta = dq^i \wedge dp_i$ heißt kanonische 2-Form (sie macht das Kotangentialbündel zu einer symplektischen Mannigfaltigkeit).

Kanonische Transformationen sind Diffeomorphismen $\Psi : T^*(Q_1) \to T^*(Q_2)$ , die die kanonische 2-Form invariant lassen, d.h. $\Psi_* \omega_1 = \omega_2$ (allgemeiner bezeichnet man solche Abbildungen zwischen symplektischen Mannigfaltigkeiten als Symplektomorphismus, sie stellen also eine Verallgemeinerung kanonischer Transformationen dar). Entsprechende lokale Diffeomorphismen heißen lokale kanonische Transformation. Somit ist $\omega_2 - \Psi_* \omega_1 = d(\Psi_* \Theta_1 - \Theta_2) = 0$ , d.h., nach dem Lemma von Poincaré ist $\Psi_* \Theta_1 - \Theta_2$ lokal (auf sternförmigen Gebieten auch global) exakt:

$\Theta_2 = \Psi_* \Theta_1 + d F$

$P_i\,dQ^i = p_i\,dq^i + d F$

Hieraus folgt insbesondere, dass erzeugende Funktionen eine kanonische Transformation nur lokal beschreiben müssen.

Die kanonische 2-Form definiert auch einen Zusammenhang ${}^\sharp : \mathcal T_1^0 (T^*(Q)) \to \mathcal T_0^1 (T^*(Q))$ zwischen 1-Formen und Vektorfeldern gemäß

$\omega ({}^\sharp \eta , Y) := (\eta \vert Y ).$

Insbesondere wird ${}^\sharp d H = \operatorname{s-grad} H =: X_H$ als hamiltonsches Vektorfeld bezeichnet (entsprechende Definitionen macht man für beliebige glatte Funktionen), es erzeugt gerade den kanonischen Fluss. Die Poisson-Klammern lassen sich koordinatenfrei durch

$\lbrace f, g \rbrace = \omega (X_f, X_g)$

definieren. Auf diese Weise wird der Zusammenhang zwischen kanonischen Transformationen und den Poisson-Klammern besonders deutlich. Zunächst wird gezeigt, dass sich hamiltonsche Vektorfelder natürlich transformieren. Für beliebige Vektorfelder $Y \in \mathcal T_0^1 (T^*(Q_1))$ und $z \in T^*(Q_1)$ gilt:

$(d f \vert Y) = (\Psi_* df \vert \Psi_* Y) = (d(\Psi_* f) \vert \Psi_* Y)$

$\omega_1 (X_f (z), Y(z)) = (\Psi_* \omega_1) (X_{\Psi_* f} (\Psi (z)), \Psi_* Y(\Psi(z)))$

Jedoch ist auch $\omega_1 (X_f(z), Y(z)) = (\Psi_* \omega_1) (\Psi_* X_f (\Psi(z)), \Psi_* Y(\Psi(z)))$ und somit

$\Psi_* X_f = X_{\Psi_* f}:$

Nun ist aber für glatte Funktionen $f, g \in C^\infty (T^* (Q_1))$

$\lbrace f, g \rbrace = \omega_1 (X_f , X_g) = (\Psi_* \omega_1 )(\Psi_* X_f, \Psi_* X_g) = (\Psi_* \omega_1 ) (X_{\Psi_* f}, X_{\Psi_* g});$

$\lbrace \Psi_* f, \Psi_* g \rbrace = \omega_2 (X_{\Psi_* f}, X_{\Psi_* g}):$

Die beiden Ausdrücke stimmen also genau dann überein, wenn

$\Psi_* \omega_1 = \omega_2,$

also wenn $\Psi$ eine kanonische Transformation ist.

Zeitabhängiger und relativistischer Fall

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Zeit in den Formalismus zu integrieren. Vor allem auch für den relativistischen Fall ist es besonders günstig, den Konfigurationsraum um eine Zeitvariable zum sogenannten erweiterten Konfigurationsraum zu erweitern. Der erweiterte Phasenraum enthält dann zwei weitere Variable, die der Zeit entsprechende Impulsvariable wird üblicherweise mit bezeichnet. Insofern die Hamiltonfunktion H(q, p; t) im nichtrelativischen Fall die Energie ausdrückt, kann die neue Hamiltonfunktion

$\mathcal H (q, t; p, -E) := H(q, p; t) - E$

eingeführt werden, die zwar keine physikalische Bedeutung hat, jedoch die korrekten Bewegungsgleichungen liefert. Die kanonischen Formen werden ohne Änderung definiert und nehmen in Koordinaten die Gestalten $\Theta = p_i\,dq^i - E\,dt$ und $\omega = dq^i \wedge dp_i- dt\wedge dE$ an. Das hamiltonsche Vektorfeld $X_{\mathcal H}$ erzeugt dann den Fluss:

$\frac{d q^i}{d s} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \frac{d p_i}{d s} = - \frac{\partial H}{\partial q^i}$

$\frac{d t}{d s} = 1, \quad \frac{d E}{d s} = \frac{\partial H}{\partial t}$

Außerdem ist ${\mathcal {H}}$ konstant entlang einer Integralkurve, sodass physikalisch nur der Fall $\mathcal H = 0$ relevant ist und mit sowie identifiziert werden kann.

Für den relativistischen Fall sind auch kanonische Transformationen relevant, die die Zeitvariable ändern. Für den nichtrelativistischen Fall sind solche Transformationen uninteressant. Im Folgenden werden die alten Koordinaten mit einem Querstrich gekennzeichnet. Es gelte nun

$p_i\,dq^i - E\,dt = \bar p_i\,d\bar q^i - \bar E\,d\bar t + d F.$

Es wird angenommen, dass die neuen Koordinaten und die alten Impulse als Koordinaten verwendet werden können. Dann setzt man $\bar p_i\,d\bar q^i - \bar E\,d\bar t = - \bar q^i\,d\bar p_i + \bar t\,d\bar E + d (\bar q^i \bar p_i - \bar t\,\bar E)$ ein und erhält:

$p_i\,dq^i - E\,dt = - \bar q^i\,d\bar p_i + \bar t\,d\bar E + d \left( F - \bar q^i \bar p_i + \bar t\,\bar E \right)$

Um sicherzustellen, dass $\bar t = t$ transformiert wird, kann $F = f(q, \bar p, t) - \bar E t$ verwendet werden. Sodann lauten die Transformationsregeln:

$\bar t = t,\quad E = \bar E - \frac{\partial f}{\partial t}$

$p_i = \frac{\partial f}{\partial q^i}, \quad \bar{q}^i = \frac{\partial f}{\partial \bar p_i}$

Hierbei wird $\mathcal H = H - E = \bar H - \bar E$ invariant gelassen, die Hamilton-Funktion im Allgemeinen also verändert. Falls die Hamilton-Jacobi-Gleichung erfüllt, d.h.

$\frac{\partial f}{\partial t} + H(q,\frac{\partial f}{\partial q}, t),$

so folgt $\bar H = 0$ und das System wird ins Gleichgewicht transformiert.

Symplektische Struktur

Die Funktionalmatrizen kanonischer Transformationen

$J={\begin{pmatrix}{\frac {\partial Q}{\partial q}}&{\frac {\partial Q}{\partial p}}\\{\frac {\partial P}{\partial q}}&{\frac {\partial P}{\partial p}}\\\end{pmatrix}}\in {\mathbb {R}}_{{2f\times 2f}}$

bilden eine symplektische Gruppe, besitzen also die Eigenschaft

$J^{{T}}MJ=M$

mit

$M = \begin{pmatrix} 0 & E_f \\ -E_f & 0 \\ \end{pmatrix}$

und der f×f-Einheitsmatrix $E_{f}$ .

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de