Website durchsuchen

Schwartz-Raum (allgemein)

Unter einem Schwartz-Raum versteht man in der Mathematik eine spezielle Klasse lokalkonvexer Vektorräume. Viele in den Anwendungen wichtige Räume, z.B. Räume differenzierbarer Funktionen, sind Schwartz-Räume. Der Raum {\mathcal {S}} der schnell fallenden Funktionen (s.u.) wird in der Distributionstheorie manchmal als der Schwartz-Raum bezeichnet, obwohl es sich lediglich um einen Vertreter der hier zu besprechenden Raumklasse handelt. Die Bezeichnung Schwartz-Raum (nach Laurent Schwartz) geht auf Alexander Grothendieck zurück. In der Literatur ist auch die Bezeichnung S-Raum verbreitet; ein vollständiger Schwartz-Raum wird dann auch ein {\displaystyle {\overline {S}}}-Raum genannt.

Definition

Ein lokalkonvexer Raum E heißt ein Schwartz-Raum, wenn es zu jedem normierten Raum F und jedem stetigen linearen Operator {\displaystyle A\colon E\rightarrow F} eine Nullumgebung {\displaystyle V\subset E} gibt, so dass das Bild {\displaystyle A(V)} präkompakt ist.

Dies ist genau dann der Fall, wenn es zu jedem Banachraum F und jedem stetigen linearen Operator A:E\rightarrow F eine Nullumgebung {\displaystyle V\subset E} gibt, so dass {\displaystyle {\overline {A(V)}}} kompakt ist.

Eine innere Charakterisierung lautet:

Ein lokalkonvexer Raum E ist genau dann ein Schwartz-Raum, wenn es zu jeder Nullumgebung U\subset E eine Nullumgebung {\displaystyle V\subset E} gibt, so dass man zu jedem \epsilon >0 endlich viele Punkte x_1,\ldots,x_n \in E mit {\displaystyle \textstyle V\subset \bigcup _{j=1}^{n}(x_{j}+\epsilon U)} finden kann.

Präkompakte Halbnormen

Weiter lassen sich Schwartz-Räume über die stetigen Halbnormen charakterisieren. Eine Halbnorm p auf einem lokalkonvexen Raum E heißt präkompakt, falls es eine Nullfolge {\displaystyle (\zeta _{n})_{n}} in \mathbb {K} und eine gleichstetige Folge (f_{n})_{n} im starken Dualraum E\,' gibt, so dass für alle x\in E die Ungleichung {\displaystyle \textstyle p(x)\leq \sup _{n\in \mathbb {N} }|\zeta _{n}f_{n}(x)|} gilt. (Dabei heißt die Folge (f_{n})_{n} gleichstetig, wenn es eine stetige Halbnorm q auf E gibt mit {\displaystyle |f_{n}(x)|\leq q(x)} für alle x\in E und n\in {{\mathbb  N}}.)

Präkompakte Halbnormen sind stetig, denn mit obigen Bezeichnungen erhält man die Abschätzung {\displaystyle \textstyle p(x)\leq \sup _{n\in \mathbb {N} }|\zeta _{n}f_{n}(x)|\leq \sup _{n\in \mathbb {N} }|\zeta _{n}|\cdot q(x)}. Die Umkehrung ist im Allgemeinen nicht richtig, sie stellt vielmehr eine Charakterisierung der Schwartz-Räume dar, denn es gilt:

Ein lokalkonvexer Raum E ist genau dann ein Schwartz-Raum, wenn jede stetige Halbnorm präkompakt ist.

Beispiele

Eigenschaften

Vollständige Schwartz-Räume

Vollständige Schwartz-Räume haben besondere Eigenschaften und lassen weitere Charakterisierungen zu. Ist p eine stetige Halbnorm auf dem lokalkonvexen Raum E, so ist N_{p}:=\{x\in E;p(x)=0\} ein abgeschlossener Unterraum von E und durch \|x+N_{p}\|_{p}:=p(x) wird eine Norm auf dem Faktorraum E_{p}:=E/N_{p} erklärt. Die Vervollständigung dieses normierten Raums wird mit B_{p} bezeichnet. Ist q eine weitere stetige Halbnorm mit p\leq q, so definiert x+N_{q}\mapsto x+N_{p} einen stetigen linearen Operator E_{q}\rightarrow E_{p}, der sich stetig zu einem linearen Operator {\displaystyle \kappa _{qp}:B_{q}\rightarrow B_{p}} fortsetzen lässt. Die B_{p} heißen die lokalen Banachräume und die Operatoren \kappa _{{qp}} heißen kanonische Abbildungen von E. Mit diesen Begriffen können vollständige Schwartz-Räume wie folgt charakterisiert werden:

Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann ein vollständiger Schwartz-Raum, wenn es zu jeder stetigen Halbnorm p eine weitere stetige Halbnorm q\geq p gibt, so dass die kanonische Abbildung {\displaystyle \kappa _{qp}:B_{q}\rightarrow B_{p}} ein kompakter Operator ist.

Es genügt natürlich, sich auf ein gerichtetes System erzeugender Halbnormen zu beschränken.

In vollständigen Schwartz-Räumen gilt der Satz von Bolzano-Weierstraß, das heißt, eine Menge ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 21.12. 2020