Gerichtete Menge

Gerichtete Mengen bezeichnen in der Mathematik eine Verallgemeinerung der nichtleeren, linear geordneten Mengen. Sie werden in der Topologie verwendet, um Netze, und in der Kategorientheorie, um Limites und Kolimites zu definieren.

Definition

Eine nichtleere Menge heißt gerichtet, falls auf ihr eine Relation $\leq$ (genannt Richtung) erklärt ist, die die folgenden Forderungen erfüllt:

(R1)	$\forall x\in X\colon x\leq x$	Reflexivität
(R2)	$\forall x,y,z\in X\colon (x\leq y)\land (y\leq z)\Rightarrow (x\leq z)$	Transitivität
(R3)	$\forall x,y\in X\ \exists z\in X\colon (x\leq z)\land (y\leq z)$	Existenz einer oberen Schranke

Auf einer Menge kann es durchaus sinnvoll sein, verschiedene Richtungen zu definieren (siehe Beispiele). Um die gemeinte Richtung hervorzuheben, nennt man auch das geordnete Paar $\left(X,\leq \right)$ gerichtete Menge. Sprechweise für $x\leq y$ ist vor oder auch nach . Unter $y\geq x$ versteht man $x\leq y$ .

Äquivalent könnte man eine gerichtete Menge auch als Quasiordnung, bei der jede endliche Teilmenge eine obere Schranke hat, definieren.

Beispiele

$X\subseteq \mathbb {R} ^{n};\,\rho \in \mathbb {R} ^{n}\ \mathrm {fest} ;\,\forall x,y\in X:(x\leq y):\Leftrightarrow \left\|x-\rho \right\|\geq \left\|y-\rho \right\|\quad$

(Sprechweise: $\mathit{X}$ ist auf $\mathit{\rho}$ gerichtet, $\mathit{\rho}$ ist Richtungszentrum von $\mathit{X}$ .) Man kann durch diese Richtung den Grenzwert einer Funktion $f\colon X \to \mathbb{R}^n$ für $x \to \rho$ als (Netz-)Konvergenz des zugehörigen Netzes auffassen.

$X=\mathbb {N} ;\,\forall n,m\in X:(n\leq m):\Leftrightarrow n\mid m$

In der Bedeutung „ teilt “. Die Forderung (R3) wird erfüllt durch das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV). Die gerichtete Menge $(\mathbb {N} ,\mid )$ kommt zum Einsatz bei kategoriellen Limites, bspw. den proendlichen Zahlen.

$X=\mathbb {N}$ mit der üblichen Kleiner-gleich-Relation

$X=\mathbb {R}$ mit der üblichen Kleiner-gleich-Relation

Mit Hilfe dieser gerichteten Menge lassen sich Grenzwerte von Funktionen respektive Folgen für $x\to \infty$ bzw. $n\to \infty$ , ähnlich dem ersten Beispiel, als (Netz)Konvergenzen ihrer zugehörigen Netze auffassen.

$X=\mathbb {N} ^{2};\,\forall (n,m),(p,q)\in X:((n,m)\leq (p,q)):\Leftrightarrow (n\leq p)\land (m\leq q)$

Mit dieser Richtung auf ${\mathbb {N}}^{2}$ lässt sich Konvergenz von Doppelfolgen, wiederum als Netzkonvergenz, definieren.

eine beliebige Menge und $X={\mathcal {P}}(M)$ (die Potenzmenge) $;\,\forall A,B\in X:(A\leq B):\Leftrightarrow A\subseteq B$

Die Forderung (R3) wird erfüllt durch die Vereinigungsmenge.

Literatur

Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 15. Auflage. Teubner, Stuttgart u.a. 2003, ISBN 3-519-62233-5.

Basierend auf einem Artikel in:

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