Universeller Koeffizientensatz

Das universelle Koeffiziententheorem ist eine Aussage eher technischen Charakters aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie. Es erlaubt, die Homologie bzw. Kohomologie eines Raumes mit Koeffizienten in einer beliebigen abelschen Gruppe aus der Homologie bzw. Kohomologie mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen auszurechnen.

Homologische Fassung

Es seien X ein topologischer Raum, A eine abelsche Gruppe und n eine natürliche Zahl. Dann gibt es eine natürliche kurze exakte Folge

0\to H_{n}(X)\otimes A\to H_{n}(X;A)\to \operatorname {Tor}_{1}^{{{\mathbb  Z}}}(H_{{n-1}}(X),A)\to 0.

Dabei steht H_{n}(X) abkürzend für H_{n}(X;{\mathbb  Z}), und Tor ist das Torsionsprodukt.

Die Folge spaltet, aber nicht natürlich.

Kohomologische Fassung

Es seien X ein topologischer Raum, A eine abelsche Gruppe und n eine natürliche Zahl. Dann gibt es eine natürliche kurze exakte Folge

0\to \operatorname {Ext}_{{\mathbb  Z}}^{1}(H_{{n-1}}(X),A)\to H^{n}(X;A)\to \operatorname {Hom}(H_{n}(X),A)\to 0.

Dabei steht wieder H_{n}(X) abkürzend für H_{n}(X;{\mathbb  Z}), und Ext ist der abgeleitete Funktor Ext. Der Homomorphismus {\displaystyle H^{n}(X;A)\to \operatorname {Hom} (H_{n}(X),A)} wird durch die Kronecker-Paarung definiert.

Im Unterschied zur homologischen Fassung ist diese Aussage selbst für A={\mathbb  Z} nicht trivial.

Wie oben spaltet die Folge, aber nicht natürlich.

Anwendungsbeispiele

H^{1}(X;{\mathbb  R})=\operatorname {Hom}(\pi _{1}(X),{\mathbb  R}).
\operatorname {Ext}^{1}({\mathbb  Z}/2{\mathbb  Z},A)=A/2A
isomorphe Untergruppe.

Verallgemeinerungen

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 19.10. 2021