Kronecker-Paarung

Im mathematischen Gebiet der algebraischen Topologie definiert die Kronecker-Paarung eine Paarung zwischen Homologie und Kohomologie.

Definition

Es sei X ein topologischer Raum, k eine natürliche Zahl, {\displaystyle h\in H_{k}(X;\mathbb {Z} )} eine Homologieklasse und {\displaystyle \beta \in H^{k}(X;A)} eine Kohomologieklasse mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe A. Dann ist die Kronecker-Paarung von \beta und h durch

{\displaystyle \langle \beta ,h\rangle :=c(z)\in A}

definiert, wobei {\displaystyle c\in C^{k}(X;A)} ein die Kohomologieklasse \beta repräsentierender Kozykel und {\displaystyle z\in C_{k}(X)} ein die Homologieklasse h repräsentierender Zykel ist.

Man kann zeigen, dass die Kronecker-Paarung wohldefiniert ist, dass also der Wert von {\displaystyle c(z)} nicht von der Auswahl des die Kohomologieklasse repräsentierenden Kozykels c oder des die Homologieklasse repräsentierenden Zykels z abhängt.

Surjektivität

Aus dem Universellen Koeffiziententheorem folgt, dass der durch die Kronecker-Paarung definierte Homomorphismus

{\displaystyle H^{k}(X;A)\to \operatorname {Hom} (H_{k}(X),A)}

ein Epimorphismus ist.

Literatur

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 19.10. 2021