Flachheit (Algebra)

Flachheit von Moduln ist eine Verallgemeinerung des Begriffs "freier Modul".

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definition

Ein Modul M über einem Ring A heißt flach, wenn der Funktor

N\mapsto M\otimes _{A}N

exakt ist. (Siehe Tensorprodukt von Moduln.)

Äquivalente Charakterisierungen sind:

Eigenschaften

Moduleigenschaften kommutative Algebra.svg
0\to N'\to N\to N''\to 0
eine exakte Sequenz. Dann ist die Sequenz
0\to M\otimes N'\to M\otimes N\to M\otimes N''\to 0
exakt, falls M oder N'' flach ist. Dies entspricht der Symmetrie des Funktors Tor.

Beispiele

Damit ist insbesondere k(t_{1},\ldots ,t_{n}) ein flacher k[t_{1},\ldots ,t_{n}]-Modul
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 23.10. 2021