Projektives Objekt

Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie sind projektive Objekte eine Verallgemeinerung des Begriffs der Freiheit in der Algebra.

Definition

Projektivesobjekt.png

Ein Objekt P einer Kategorie C heißt projektiv, wenn es zu jedem Epimorphismus  \alpha \colon A\rightarrow B und jedem  f\colon P \rightarrow B ein  f^*\colon P \rightarrow A  gibt, so dass  \alpha \circ f^* = f ist. Das heißt nebenstehendes Diagramm ist kommutativ. Also ist P genau dann projektiv, wenn für alle Epimorphismen \alpha \colon A\rightarrow B die induzierte Abbildung

 \operatorname{Mor}_{\mathcal{C}}(P,A) \ni f^* \mapsto \alpha \circ f^*\in \operatorname{Mor}_{\mathcal{C}}(P,B) surjektiv ist.

Beispiele

Eigenschaften

Ist in der Kategorie C jedes Objekt Quotient eines projektiven Objektes, d.h. gibt es zu jedem Objekt X\in \operatorname{Ob}(C) einen Epimorphismus P\rightarrow X, in dem P projektiv ist, so sagt man auch, C besitze genügend projektive Objekte. Diese Eigenschaft spielt eine Rolle im Zusammenhang mit abgeleiteten Funktoren. Beispielsweise besitzt die Kategorie der Gruppen genügend projektive Objekte, weil jede Gruppe Quotient einer freien Gruppe ist (Darstellung durch Erzeugende und Relationen).

Projektiver Modul

In der Kategorie der Moduln kann man genaueres über projektive Moduln sagen.

Für einen Modul P sind folgende Aussagen äquivalent.

Die direkte Summe einer Familie  (P_i|i \in I) von Moduln ist genau dann projektiv, wenn jedes P_{i} projektiv ist. Insbesondere ist jeder direkte Summand eines projektiven Moduls projektiv. Das Produkt projektiver Moduln ist im Allgemeinen keineswegs projektiv. So ist beispielsweise \mathbb{Z } ^{{\mathbb{N} }} nicht projektiv.

Beispiele projektiver Moduln

Dualbasislemma

Ein Modul P werde erzeugt von  (y_i|i \in I) . Der Modul P ist genau dann projektiv, wenn es eine Familie  (f_i| i \in I) von Homomorphismen aus dem Dualraum  P^*\colon = \operatorname{Hom}(P,R) gibt mit:

  1. Für jedes  p \in P ist  f_i(p) \neq 0 nur für endlich viele  i\in I .
  2. Für jedes  p \in P ist \textstyle p= \sum_{i \in I} y_i f_i(p) .

Folgerungen aus dem Dualbasislemma

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 09.11. 2020