Euler-Klasse

In der Mathematik, genauer in der algebraischen Topologie und in der Differentialgeometrie und -topologie, ist die Euler-Klasse ein spezieller Typ von charakteristischen Klassen, die orientierbaren reellen Vektorbündeln zugeordnet wird. Sie wird nach Leonhard Euler benannt, weil sie im Fall des Tangentialbündels einer Mannigfaltigkeit deren Euler-Charakteristik bestimmt.

Sie kann auf unterschiedliche (äquivalente) Weisen definiert werden: als Hindernis für die Existenz eines Schnittes ohne Nullstellen, als Pull-Back der Orientierungsklasse unter einem Schnitt oder als Bild der Pfaffschen Determinante unter dem Chern-Weil-Isomorphismus. Im Fall flacher Bündel gibt es weitere äquivalente Definitionen.

Grundidee und Motivation

Die Euler-Klasse ist eine charakteristische Klasse, also eine topologische Invariante von orientierten Vektorbündeln: zwei isomorphe orientierte Vektorbündel haben dieselben Euler-Klassen. Im Falle differenzierbarer Mannigfaltigkeiten bestimmt die Euler-Klasse des Tangentialbündels die Euler-Charakteristik der Mannigfaltigkeit.

Die Euler-Klasse liefert ein Hindernis für die Existenz eines Schnittes ohne Nullstellen. Insbesondere liefert die Euler-Charakteristik einer geschlossenen, orientierbaren, differenzierbaren Mannigfaltigkeit ein Hindernis für die Existenz eines Vektorfeldes ohne Singularitäten.

Für einen auf einer Teilmenge des Basis-Raumes definierten nullstellenfreien Schnitt kann man eine relative Euler-Klasse definieren, diese liefert ein Hindernis für die Fortsetzbarkeit des Schnittes ohne Nullstellen auf die gesamte Basis.

Axiome

Die (relative) Euler-Klasse wird durch folgende Axiome festgelegt.

Jedem orientierten, -dimensionalen reellen Vektorbündel $E\to X$ mit einem nirgendwo verschwindenden Schnitt $s\colon Y\to E$ auf einer (möglicherweise leeren) Teilmenge $Y\subset X$ wird ein Element

$e(E,s)\in H^{n}(X,Y;\mathbb{Z } )$

(bzw. $e(E)\in H^{n}(X;\mathbb{Z } )$ falls $Y=\emptyset$ ) zugeordnet, so dass

für jede stetige Abbildung $f\colon (X^{\prime },Y^{\prime })\to (X,Y)$ gilt $e(f^{*}E,f^{*}s)=f^{*}(e(E,s))$
$e(E_{1}\oplus E_{2},s\oplus 0)=e(E_{1},s)\cup e(E_{2})$
für das tautologische komplexe Geradenbündel $\gamma ^{1}\to \mathbb {C} P^{1}$ , aufgefasst als 2-dimensionales reelles Vektorbündel, ist $e(\gamma ^{1})\in H^{2}(\mathbb {C} P^{1};\mathbb {Z} )$ ein Erzeuger von $H^{2}(\mathbb {C} P^{1};\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {Z}$ .

$e(E)\in H^{n}(X;\mathbb{Z } )$ heißt die Euler-Klasse des Bündels , $e(E,s)\in H^{n}(X,Y;\mathbb{Z } )$ heißt die relative Euler-Klasse relativ zum Schnitt .

Definition als Obstruktionsklasse

Für ein -dimensionales orientiertes Vektorbündel $E\to \vert K\vert$ über der geometrischen Realisierung $\vert K\vert$ eines Simplizialkomplexes erhält man mittels Obstruktionstheorie die Obstruktionsklasse

$o_{n}(E)\in H^{n}(K;\pi _{{n-1}}(V_{1}(\mathbb{R} ^{n}))$

für die Fortsetzung eines Schnittes im assoziierten Vektorbündel auf das -Skelett von .

Die Koeffizientengruppe

$\pi _{{n-1}}(V_{1}(\mathbb{R} ^{n}))\simeq \pi _{{n-1}}(\mathbb{R} ^{n}-0)\simeq H_{{n-1}}(\mathbb{R} ^{n}-0;\mathbb{Z } )\simeq H_{n}(\mathbb{R} ^{n},\mathbb{R} ^{n}-0;\mathbb{Z } )$

ist (durch die Orientierung) kanonisch isomorph zu $\mathbb {Z}$ und dieser Isomorphismus bildet $o_{n}(E)$ auf die Euler-Klasse $e(E)\in H^{n}(K;\mathbb{Z } )$ ab.

Definition mittels Orientierungsklasse

Für ein orientiertes -dimensionales Vektorbündel $p\colon E\to M$ und $E_{0}\subset E$ das Komplement des Null-Schnitts betrachten wir das Bild $u\mid _{E}$ der Orientierungsklasse (Thom-Klasse)

$u\in H^{{n}}(E,E_{0};\mathbb{Z } )$

in $H^{n}(E;\mathbb{Z } )$ . Weil $\mathbb {R} ^{n}$ kontrahierbar ist, ist $p\colon E\to M$ eine Homotopieäquivalenz und

$p^{*}\colon H^{*}(M;\mathbb{Z } )\to H^{*}(E;\mathbb{Z } )$

ein Isomorphismus. Die Euler-Klasse ist definiert durch

$e(E):=(p^{*})^{{-1}}u\mid _{E}\in H^{n}(M;\mathbb{Z } )$ .

Äquivalent kann man e(E) durch

$e(E):=s^{*}u\mid _{E}$

für einen beliebigen Schnitt (zum Beispiel den Nullschnitt) $s\colon M\to E$ definieren.

Falls $E\to M$ einen Schnitt ohne Nullstellen hat, also $s(M)\subset E_{0}$ gilt, folgt daraus e(E)=0 .

Relative Euler-Klasse: Falls ein Schnitt ohne Nullstellen $s_{0}\colon Y\to E$ auf einer Teilmenge $Y\subset M$ gegeben ist, dann kann man ihn zu einem Schnitt (evtl. mit Nullstellen) $s\colon (M,Y)\to (E,E_{0})$ fortsetzen und definiert dann

$e(E,s_{0}):=s^{*}u\in H^{n}(M,Y;\mathbb{Z } )$ .

Definition über Chern-Weil-Theorie

Wir betrachten Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit . Die Konstruktion mittels Chern-Weil-Theorie liefert (nur) das Bild der Euler-Klasse in $H^{*}(M;\mathbb{R} )$ bzw. der relativen Euler-Klasse in $H^{*}(M,Y;\mathbb{R} )$ , insbesondere liefert sie die Nullklasse für Vektorbündel ungerader Dimension.

Für ein orientiertes Vektorbündel der Dimension n=2k betrachtet man das assoziierte SO(2k) -Prinzipalbündel (das Rahmenbündel) $P\to M$ .

Für ein SO(2k) -Prinzipalbündel $P\to M$ mit einer Zusammenhangsform $\omega \in \Omega ^{1}(P,so(2k))$ ist die Euler-Klasse $e(P)\in H_{{dR}}^{{2k}}(M)\simeq H^{{2k}}(M;\mathbb{R} )$ das Bild der durch

$Pf(A,\ldots ,A)={\frac {1}{2^{k}k!}}\sum _{{\sigma \in S_{{2k}}}}sign(\sigma )a_{{\sigma (1)\sigma (2)}}\ldots a_{{\sigma (2k-1)\sigma (2k)}}$

definierten Pfaffschen Determinante $Pf\in I^{n}(so(2k))$ unter dem Chern-Weil-Homomorphismus

$I^{k}(so(2k))\to H_{{dR}}^{{2k}}(M)$ ,

also die von der mit Hilfe der Krümmungsform $\Omega \in \Omega ^{2}(M)$ des Prinzipalbündels definierten Differentialform

${\frac {1}{2^{k}\pi ^{{2k}}}}Pf(\Omega )(X_{1},\dots ,X_{{2k}}):={\frac {1}{(2\pi )^{{2k}}}}{\frac {1}{(k)!}}\sum _{{\sigma \in {\mathfrak S}_{{2k}}}}\operatorname {sign}(\sigma )Pf(\Omega (X_{{\sigma (1)}},X_{{\sigma (2)}}),\dots ,\Omega (X_{{\sigma (2k-1)}},X_{{\sigma (2k)}}))$

repräsentierte De-Rham-Kohomologie-Klasse. Man kann zeigen, dass die Euler-Klasse nicht von der Wahl der Zusammenhangsform $\Omega$ abhängt und dass sie im Bild von $H^{{2k}}(M;\mathbb{Z } )$ liegt.

Die Übereinstimmung der so definierten Euler-Klasse mit der oben topologisch definierten ist der Inhalt des 1943 von Allendoerfer und Weil (und mit einem intrinsischen Beweis 1944 von Chern) bewiesenen verallgemeinerten Satzes von Gauß-Bonnet

Relative Euler-Klasse: Es sei $s\colon Y\to E$ ein Schnitt ohne Nullstellen über einer Untermannigfaltigkeit $Y\subset M$ . (Wir nehmen an, dass sich der Schnitt auf eine offene Umgebung von fortsetzen lässt.) Dann gibt es eine Zusammenhangsform $\omega$ , deren Krümmungsform $Pf(\Omega )\mid _{Y}\equiv 0$ erfüllt. Insbesondere definiert $Pf(\Omega )$ eine relative Kohomologieklasse $e(E,s)\in H^{{2k}}(M,Y;\mathbb{Z } )$ .

Euler-Klasse von SL(n,R)-Prinzipalbündeln

Unter den Isomorphismen

$I^{k}(so(2k))\simeq H^{{2k}}(BSO(2k))\simeq H^{{2k}}(BSL(2k,\mathbb{R} ))$

entspricht die Pfaffsche Determinante einer Kohomologieklasse $e(\gamma ^{{2k}})$ in der Kohomologie des klassifizierenden Raumes $BSL(2k,\mathbb{R} )$ , der Euler-Klasse des universellen Bündels $\gamma ^{{2k}}\to BSL(2k,\mathbb{R} )$ . Zu jedem $SL(2k,\mathbb{R} )$ -Bündel $P\to M$ kann man also mittels der klassifizierenden Abbildung $f\colon M\to BSL(2k,\mathbb{R} )$ die Euler-Klasse

$e(P):=f^{*}(e(\gamma ^{{2k}}))\in H^{{2k}}(M)$

definieren. Diese stimmt mit der Euler-Klasse des assoziierten Vektorbündels überein.

Euler-Klasse von Sphärenbündeln

Die Euler-Klasse kann für beliebige Sphärenbündel definiert werden.

Im Fall des Einheitssphärenbündels eines Riemannschen Vektorbündels erhält man die oben definierte Euler-Klasse des Vektorbündels.

Eigenschaften

Der kanonische Homomorphismus $H^{n}(X;\mathbb{Z } )\to H^{n}(X;\mathbb{Z } /2\mathbb{Z } )$ bildet die Euler-Klasse auf die n-te Stiefel-Whitney-Klasse $w_{n}\in H^{n}(X;\mathbb{Z } /2\mathbb{Z } )$ ab.
Das Cup-Produkt $e(E)\cup e(E)$ ist die höchste Pontrjagin-Klasse $p_{n}\in H^{{2n}}(X;\mathbb{Z } )$ .
Für geschlossene, orientierbare, differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit Tangentialbündel und Fundamentalklasse $\left[M\right]$ ist $\langle e(TM),\left[M\right]\rangle =\chi (M)$ die Euler-Charakteristik von .
Es sei $\overline {E}$ das Vektorbündel mit der umgekehrten Orientierung, dann ist $e(\overline {E})=-e(E)$ .
Insbesondere gilt für Vektorbūndel ungerader Dimension . Für geschlossene, orientierbare, differenzierbare Mannigfaltigkeiten ungerader Dimension verschwindet die Euler-Charakteristik.
Für die Whitney-Summe und das kartesische Produkt von Vektorbündeln gilt
$e(E_{1}\oplus E_{2})=e(E_{1})\cup e(E_{2}),e(E_{1}\times E_{2})=e(E_{1})\times e(E_{2}),$
wobei $\cup$ das Cup-Produkt und $\times$ das Kreuzprodukt bezeichnet.
Für einen generischen Schnitt $s\colon M\to E$ eines -dimensionalen orientierten Vektorbündels über einer -dimensionalen geschlossenen orientierbaren Mannigfaltigkeit ist das Bild der Fundamentalklasse $\left[Z\right]$ der Nullstellenmenge $Z=\left\{x\in X:s(x)=0\right\}$ in $H_{{m-n}}(M;\mathbb{Z } )$ das Poincaré-Dual von $e(E)\in H^{n}(M;\mathbb{Z } )$ . Im Fall des Tangentialbündels ergibt sich daraus der Satz von Poincaré-Hopf.
Wenn $N_{Y}$ das Normalenbündel einer geschlossenen orientierbaren Untermannigfaltigkeit $Y\subset M$ ist, dann ist $<e(N_{Y}),\left[Y\right]>$ die Selbstschnittzahl von .
Wenn $s\colon X\to E$ ein Schnitt ohne Nullstellen ist, dann ist $e(E,s\vert _{Y})=0\in H^{n}(X,Y;\mathbb{Z } )$ für alle $Y\subset X$ .
Gysin-Sequenz: Für ein -dimensionales orientiertes Vektorbündel $E\to B$ (mit $E_{0}\subset E$ die Menge der von Null verschiedenen Vektoren) vermittelt das Cup-Produkt mit der Euler-Klasse eine exakte Sequenz
$\ldots \to H^{i}(B;\mathbb{Z } )\to H^{{i+n}}(B)\to H^{{i+n}}(E_{0})\to H^{{i+1}}(B)\to \ldots$ ,
wobei die anderen beiden Abbildungen $\pi \vert _{{E_{0}}}^{*}$ und die Integration entlang der Faser sind.

Euler-Klasse flacher Bündel

Simpliziale Definition

Es sei $p\colon E\to \vert K\vert$ ein flaches Vektorbündel über der geometrischen Realisierung $\vert K\vert$ eines Simplizialkomplexes mit $0$ -Simplizes $v_1,\ldots,v_n$ . Weil Simplizes kontrahierbar sind, ist das Bündel trivial über jedem Simplex. Zu beliebig gewählten $s(v_{i})\in p^{{-1}}(v_{i})$ kann man also durch affine Fortsetzung einen Schnitt $s\colon \vert K\vert \to E$ konstruieren. Für generische $s(v_{i})$ hat dieser Schnitt keine Nullstellen auf dem (n-1) -Skelett, höchstens eine Nullstelle pro -Simplex und ist transversal zum Nullschnitt. Dann definieren wir einen simplizialen -Kozykel ${\mathcal {E}}$ durch

${\mathcal {E}}(\sigma )=0$ falls $s\vert _{\sigma }$ keine Nullstelle hat

${\mathcal {E}}(\sigma )=1$ falls s(p)=0

für ein $p\in \sigma$ und falls für eine positive Basis $t_1,\ldots,t_n$ von $T_{p}K$ auch $t_{1},\ldots ,t_{n},d_{p}s(t_{1}),\ldots ,d_{p}s(t_{n})$ eine positive Basis von $T_{{s(p)}}E$ ist

${\mathcal {E}}(\sigma )=-1$ andernfalls.

Man kann zeigen, dass ${\mathcal {E}}$ ein Kozykel ist und sein Wert auf Zykeln nicht vom gewählten Schnitt abhängt. Die von ${\mathcal {E}}$ repräsentierte Kohomologieklasse ist die Euler-Klasse $e\in H^{n}(K;\mathbb{Z } )$ des flachen Bündels.

Flache SL(2,R)-Bündel

Wegen $\pi _{1}SL(2,\mathbb{R} )\simeq \mathbb{Z }$ hat man die universelle Überlagerung

$\mathbb{Z } \to \widetilde {SL(2,\mathbb{R} )}\to SL(2,\mathbb{R} )$ ,

diese ist eine zentrale Erweiterung und wird deshalb durch eine Kohomologieklasse $E\in H^{2}(BSL(2,\mathbb{R} )^{\delta };\mathbb{Z } )$ repräsentiert. Diese ist die universelle Euler-Klasse für flache $SL(2,\mathbb{R} )$ -Bündel, d.h. für ein flaches Bündel $P\to M$ mit Holonomie-Darstellung $\rho \colon \pi _{1}M\to SL(2,\mathbb{R} )$ erhält man

$e(P)=f^{*}(B\rho )^{*}(E)\in H^{2}(M;\mathbb{Z } )$ ,

wobei $f\colon M\to B\pi _{1}M$ die klassifizierende Abbildung der universellen Überlagerung ist.

Flache Kreisbündel

Es bezeichne $Homeo^{+}(S^{1})$ die Gruppe der orientierungserhaltenden Homöomorphismen des Kreises. Ihre universelle Überlagerung ist $\widetilde {Homeo^{+}(S^{1})}=\left\{f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} :f(x+1)=f(x)+1\ \forall x\in \mathbb{R} \right\}$ . Die ganzen Zahlen wirken durch Translationen auf $\mathbb {R}$ und man erhält eine exakte Sequenz

$\mathbb{Z } \to \widetilde {Homeo^{+}(S^{1})}\to Homeo^{+}(S^{1})$ .

Die zugehörige Gruppenkohomologie-Klasse $E\in H^{2}(Homeo^{+}(S^{1});\mathbb{Z } )$ ist die universelle Euler-Klasse für flache $Homeo^{+}(S^{1})$ -Bündel.

Eine explizite Formel wurde von Jekel angegeben: die universelle Euler-Klasse $E_{\mathbb{R} }\in H^{2}(Homeo^{+}(S^{1});\mathbb{R} )$ wird durch den sogenannten Orientierungs-Kozykel $o\in C^{2}(Homeo^{+}(S^{1};\mathbb{R} )$ repräsentiert:

$o(g_{0},g_{1},g_{2})={\frac {1}{2}}$ falls $g_{0}(1),g_{1}(1),g_{2}(1)$ im Uhrzeigersinn auf dem Kreis angeordnet sind

$o(g_{0},g_{1},g_{2})=0$ falls mindestens zwei der Werte $g_{0}(1),g_{1}(1),g_{2}(1)$ übereinstimmen

$o(g_{0},g_{1},g_{2})=-{\frac {1}{2}}$ falls $g_{0}(1),g_{1}(1),g_{2}(1)$ entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Kreis angeordnet sind.

Der Orientierungs-Kozykel repräsentiert dann auch für alle Untergruppen $G\subset Homeo^{+}(S^{1})$ die universelle Euler-Klasse für flache -Bündel. Dies gilt insbesondere für flache $PSL(2,\mathbb{R} )$ -Bündel: man verwende die Wirkung von $PSL(2,\mathbb{R} )$ auf $S^{1}=P^{1}\mathbb{R}$ durch gebrochen-lineare Transformationen.

Literatur

John W. Milnor, James D. Stasheff: Characteristic classes. In: Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton NJ; University of Tokyo Press, Tokyo 1974. (Kapitel 9)
Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. In: Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer-Verlag, Berlin / New York 1978, ISBN 3-540-08663-3
Raoul Bott, Loring W. Tu: Differential forms in algebraic topology. In: Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York / Berlin 1982, ISBN 0-387-90613-4 (Kapitel 11)
Riccardo Benedetti, Carlo Petronio: Lectures on hyperbolic geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-540-55534-X (Kapitel F.4)
Tammo tom Dieck: Algebraic topology. EMS Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich 2008, ISBN 978-3-03719-048-7 (Kapitel XI)
Alberto Candel, Lawrence Conlon: Foliations. II. In: Graduate Studies in Mathematics, 60. American Mathematical Society, Providence RI 2003, ISBN 0-8218-0881-8 (Kapitel 4)

Basierend auf einem Artikel in:

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