Cap-Produkt

In der algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, definiert das Cap-Produkt eine Verknüpfung zwischen Kohomologie und Homologie eines Raumes.

Definition

Sei X ein topologischer Raum, sei C_{n}(X) die n-te singuläre Kettengruppe, also die freie abelsche Gruppe über der Menge aller stetigen Abbildungen des Standard-n-Simplexes \Delta ^{n} nach >X und {\displaystyle C^{n}(X)=Hom(C_{n}(X),\mathbb {Z} )}. Man bezeichne mit \iota _{{0\ldots p}}\colon \Delta ^{p}\rightarrow \Delta ^{{p+q}} beziehungsweise \iota _{{p\ldots p+q}}\colon \Delta ^{q}\rightarrow \Delta ^{{p+q}} die Inklusionen des Standard-p- beziehungsweise q-Simplexes als „vordere p-dimensionale Seite“ beziehungsweise „hintere q-dimensionale Seite“ in den Standard-(p+q)-Simplex.

Für {\displaystyle \psi \in C^{q}(X)} und einen singulären Simplex {\displaystyle \sigma :\Delta ^{p}\rightarrow X} (mit {\displaystyle p\geq q}) definiert man

{\displaystyle \sigma \frown \psi :=(-1)^{pq}\psi (\sigma \circ \iota _{0\ldots q})\sigma \circ \iota _{q\ldots p}}

und setzt dies linear zu einer Abbildung

{\displaystyle C^{q}(X)\times C_{p}(X)\rightarrow C_{p-q}(X)}

fort.

Allgemeiner sei R ein Ring und sei {\displaystyle C_{n}(X;R)=C_{n}(X)\otimes _{\mathbb {Z} }R,C^{n}(X)=Hom(C_{n}(X),R)}. Dann erhält man eine Abbildung

{\displaystyle C^{q}(X;R)\times C_{p}(X;R)\rightarrow C_{p-q}(X;R)}.

Aus der Relation

{\displaystyle \partial (\sigma \frown \psi )=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi )}

folgt, dass das Cap-Produkt eine wohldefinierte Abbildung

{\displaystyle H^{q}(X;R)\times H_{p}(X;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R)}

definiert.

Eigenschaften

Für stetige Abbildungen f:X\rightarrow Y gilt

{\displaystyle f_{*}(c)\frown \psi =f_{*}(c\frown f^{*}(\psi ))}

mit {\displaystyle c\in C_{p}(X;R)}, {\displaystyle \psi \in C^{q}(Y;R)}.

Das Cap-Produkt hängt mit dem Cup-Produkt über die folgende Gleichung zusammen:

{\displaystyle \psi (c\frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(c)}

für {\displaystyle c\in C_{p}(X;R)}, {\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R)}, {\displaystyle \varphi \in C^{p-q}(X;R).}

Anwendung: Poincaré-Dualität

Hauptartikel: Poincaré-Dualität

Sei M eine geschlossene, orientierbare n-Mannigfaltigkeit und

{\displaystyle \left[M\right]\in H_{n}(M;\mathbb {Z} )}

die Fundamentalklasse. Dann realisiert das Cap-Produkt mit \left[M\right] einen Isomorphismus

{\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H_{n-k}(M;\mathbb {Z} )}

für {\displaystyle k=0,\ldots ,n}.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 22.06. 2021