Cap-Produkt
In der algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, definiert das Cap-Produkt eine Verknüpfung zwischen Kohomologie und Homologie eines Raumes.
Definition
Sei ein topologischer Raum, sei die -te singuläre Kettengruppe, also die freie abelsche Gruppe über der Menge aller stetigen Abbildungen des Standard--Simplexes nach > und . Man bezeichne mit beziehungsweise die Inklusionen des Standard-- beziehungsweise -Simplexes als „vordere -dimensionale Seite“ beziehungsweise „hintere -dimensionale Seite“ in den Standard--Simplex.
Für und einen singulären Simplex (mit ) definiert man
und setzt dies linear zu einer Abbildung
fort.
Allgemeiner sei ein Ring und sei . Dann erhält man eine Abbildung
- .
Aus der Relation
folgt, dass das Cap-Produkt eine wohldefinierte Abbildung
definiert.
Eigenschaften
Für stetige Abbildungen gilt
mit , .
Das Cap-Produkt hängt mit dem Cup-Produkt über die folgende Gleichung zusammen:
für , ,
Anwendung: Poincaré-Dualität
Sei eine geschlossene, orientierbare -Mannigfaltigkeit und
die Fundamentalklasse. Dann realisiert das Cap-Produkt mit einen Isomorphismus
für .
Literatur
- Ralph Stöcker, Heiner Zieschang: Algebraische Topologie. Eine Einführung. Zweite Auflage. Mathematische Leitfäden. B. G. Teubner, Stuttgart, 1994. ISBN 3-519-12226-X
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 22.06. 2021