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Normierbarer Raum

Ein normierbarer Raum oder normierbarer Vektorraum ist in der Mathematik ein topologischer Vektorraum, dessen Topologie durch eine Norm erzeugt werden kann. Normierbare Räume werden insbesondere in der Topologie und in der Funktionalanalysis untersucht.

Definition

Ein topologischer Vektorraum (V,{\mathcal  {T}}) heißt normierbar, wenn es eine Norm \|\cdot \| auf V gibt, sodass die Mengen

U_{\varepsilon }=\{v\in V\mid \|v\|\leq \varepsilon \}

eine Umgebungsbasis des Nullvektors bezüglich der Topologie {\mathcal  {T}} bilden.

Eigenschaften

Im Allgemeinen kann die Topologie eines normierbaren Raums durch mehrere Normen erzeugt werden. Sind jedoch \|\cdot \|_{a} und \|\cdot \|_{b} zwei Normen, die die gleiche Topologie erzeugen, so sind diese beiden Normen zueinander äquivalent. Wird eine der möglichen Normen ausgewählt, dann wird V zu einem normierten Raum, dessen Normtopologie mit {\mathcal  {T}} übereinstimmt.

Normierbarkeit bleibt unter folgenden Operationen erhalten:

Kriterien für Normierbarkeit

Nach dem Normierbarkeitskriterium von Kolmogoroff ist ein hausdorffscher topologischer Vektorraum genau dann normierbar, wenn er eine beschränkte und konvexe Nullumgebung besitzt. Insbesondere ist jeder hausdorffsche lokalkonvexe Raum mit beschränkter Nullumgebung normierbar.

Beispiele für nicht normierbare topologische Vektorräume sind alle nicht lokalkonvexen Räume, insbesondere Lp([0,1]) mit 0 < p < 1 , sowie alle unendlichdimensionalen Montel-Räume, insbesondere die Räume {\mathcal  {D}}\left(\Omega \right), {\mathcal  {S}}\left(\Omega \right), {\mathcal  {E}}\left(\Omega \right), {\mathcal  {E}}'\left(\Omega \right), {\mathcal  {S}}'\left(\Omega \right) und {\mathcal  {D}}'\left(\Omega \right) der Distributionentheorie. Weitere Beispiele für nicht normierbare topologische Vektorräume liefert die schwache Topologie \sigma auf unendlichdimensionalen normierten Räumen E, denn der Raum \left(E,\sigma \right) ist genau dann normierbar, wenn E endlichdimensional ist.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 23.11. 2020