Verallgemeinerter Laplace-Operator

Verallgemeinerte Laplace-Operatoren sind mathematische Objekte, welche in der Differentialgeometrie insbesondere in der Globalen Analysis untersucht werden. Die hier behandelten Operatoren sind Verallgemeinerungen des aus der reellen Analysis bekannten Laplace-Operators. Diese Verallgemeinerungen sind notwendig, um den Laplace-Operator auf riemannsche Mannigfaltigkeit definieren zu können. Eine wichtige Rolle spielen diese Operatoren in den Beweisen für den Atiyah-Singer-Indexsatz und den Atiyah-Bott-Fixpunktsatz.

Definition

Sei (M,g) eine n-dimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit, \pi \colon E \to M ein hermitesches Vektorbündel und H \colon \Gamma^\infty(M,E) \to \Gamma^\infty(M,E) ein geometrischer Differentialoperator zweiter Ordnung. Dieser heißt verallgemeinerter Laplace-Operator, falls für sein Hauptsymbol

\sigma_H^2(x,\xi) = \|\xi\|^2

für x\in M und \xi \in T^*_xM gilt. Die Norm wird durch die riemannsche Metrik induziert und daher ist auch die Definition abhängig von der Metrik.

Beispiele

Im Folgenden werden einige bekannte Beispiele verallgemeinerter Laplace-Operatoren vorgestellt. Dazu sei wieder wie in der Definition (M,g) eine n-dimensionale, kompakte riemannsche Mannigfaltigkeit und \pi \colon E \to M ein Vektorbündel.

Laplace-Beltrami-Operator

Definition

Der Laplace-Beltrami-Operator ist definiert durch

\Delta f := \operatorname{div} (\operatorname{grad} f ).

für zweimal stetig differenzierbare Funktionen f\colon M \to \R. Dabei bezeichnet \operatorname{grad} f den Gradienten der Funktion f, ein Vektorfeld auf M. Die Divergenz eines Vektorfeldes X auf M an der Stelle p\in M ist definiert als die Spur der linearen Abbildung \nabla X\colon T_pM \to T_p M, \xi \mapsto \nabla_\xi X, wobei \nabla der Levi-Civita-Zusammenhang auf M ist. Hat man als Definitionsbereich keine echte Mannigfaltigkeit, sondern eine offene Teilmenge des \mathbb {R} ^{n}, so ist der Zusammenhang \nabla die gewöhnliche Richtungsableitung und \operatorname {div} die aus der reellen Analysis bekannte Divergenz eines Vektorfeldes. In diesem Fall erhält man den bekannten Laplace-Operator.

Lokale Koordinaten

Es seien (x_1, \dots, x_n) lokale Koordinaten auf M und \tfrac{\partial}{\partial x_1}, \dots, \tfrac{\partial}{\partial x_n} die zugehörigen Basisfelder des Tangentialbündels. Mit g_{ij} für 1 \le i,j \le n seien die Komponenten der riemannschen Metrik g bezüglich dieser Basis bezeichnet.

Die Darstellung des Gradienten \operatorname {grad} in lokalen Koordinaten lautet dann

\operatorname{grad} f  = \sum_{i,j} \left(g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x_j} \right) \frac{\partial}{\partial x_i}.

Hierbei ist (g^{ij}) die inverse Matrix der Matrix (g_{ij}).

Die Darstellung der Divergenz eines Vektorfelds \textstyle X = \sum\limits_i X^i \tfrac{\partial }{\partial x_i} ist

\operatorname{div} X = \frac{1}{\sqrt{\det g}} \sum_i \frac{\partial}{\partial x_i} \left(\sqrt {\det g} X^i\right),

wobei \det g die Determinante der Matrix (g_{ij}) ist.

Setzt man diese Gleichungen zusammen, so erhält man die lokale Darstellung

\Delta f = \operatorname{div}(\nabla f) = \frac{1}{\sqrt {\det g}} \sum_{i,j}\frac{\partial }{\partial x_i} \left(\sqrt{\det g}\, g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x_j} \right)

des Laplace-Beltrami-Operators bezüglich der Metrik g. Setzt man in dieser Formel für den Laplace-Beltrami-Operator die Darstellung des euklidischen metrischen Tensors in Polar-, Zylinder- oder Kugelkoordinaten ein, so erhält man die Darstellung des üblichen Laplace-Operators in diesen Koordinatensystemen.

Hodge-Laplace-Operator

Sei \textstyle \mathcal{A}(M) := \bigoplus_{i=1}^n \mathcal{A}^i(M) der Raum der Differentialformen über M und \mathrm{d} : \mathcal{A}^i(M) \to \mathcal{A}^{i+1}(M) die äußere Ableitung. Die adjungierte äußere Ableitung wird mit \delta bezeichnet. Dann heißt der Operator

\Delta := \mathrm{d} \delta + \delta \mathrm{d} = (\mathrm{d} + \delta)^2

Hodge-Laplace- oder Laplace-de-Rham-Operator und ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator. Die Namen stammen daher, dass dieser Operator in der klassischen Hodge-Theorie und dem damit eng verbundenen De-Rham-Komplex Anwendung findet.

Dirac-Laplace-Operator

Ein Dirac-Operator

D : \Gamma^\infty(M,E) \to \Gamma^\infty(M,E)

ist gerade so definiert, dass er durch quadrieren einen verallgemeinerten Laplace-Operator induziert. Das heißt IMG class="text" style="width: 29.3ex; height: 3.17ex; vertical-align: -0.83ex;" alt="D^2 : \Gamma^\infty(M,E) \to \Gamma^\infty(M,E)" src="/svg/597eeb7a5965a19a5d74b26c516e0853b0f2519d.svg"> ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator und wird Dirac-Laplace-Operator genannt. Diese Laplace-Operatoren spielen eine wichtige Rolle im Beweis des Indexsatzes.

Bochner-Laplace-Operator

Definition

Der Bochner-Laplace-Operator wird mit dem metrischen Zusammenhang \nabla^E \colon \Gamma(M,E) \to \Gamma(T^*M \otimes E) auf dem Vektorbündel E definiert. Sei außerdem \nabla^{T^*M} \colon \Gamma(M,T^*M) \to \Gamma(T^*M \otimes T^*M) der Levi-Civita-Zusammenhang und \nabla^{T^*M \otimes E} der durch \nabla^E und \nabla^{T^*M} induzierte Zusammenhang auf dem Bündel T^*M \otimes E

dann ist der Bochner-Laplace-Operator durch


\Delta^E \cdot := - \operatorname{Tr}_g\left(\nabla^{T^*M \otimes E} \nabla^E \cdot \right)\,.

definiert. Die Abbildung \operatorname{Tr}_g ist dabei die Tensorverjüngung bezüglich der riemannschen Metrik.

Eine äquivalente Definition des Bochner-Laplace-Operators ist

\Delta^E := - (\nabla^E)^* \nabla^E.

Dabei ist (\nabla^E)^* der adjungierte Operator bezüglich der riemannschen Metrik g.

Lokale Darstellung

Wählt man als Zusammenhang den Levi-Civita-Zusammenhang so erhält man in lokalen Koordinaten mit dem orthonormalen Rahmen e_1 , \ldots , e_n die Darstellung


\Delta^E = - \sum_{i = 1}^n \left( \nabla^E_{e_i} \nabla^E_{e_i} - \nabla^E_{\nabla_{e_i}e_i}\right)\,.

Eigenschaften

g(\Delta^E \phi,\psi) = g(\nabla^E\phi, \nabla^E \psi).

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 16.07. 2021