Tensorverjüngung

Die Tensorverjüngung oder Kontraktion ist ein mathematischer Begriff aus der linearen Algebra. Es ist eine Verallgemeinerung der Spur einer linearen Abbildung auf Tensoren, die mindestens einfach kovariant und einfach kontravariant sind.

Definition

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und sei

T^r_s (V) := \underbrace{V \otimes \cdots \otimes V}_{r\text{-mal}} \otimes \underbrace{V^* \otimes \cdots \otimes V^*}_{s\text{-mal}}

der Tensorraum der r-fach kontravarianten und s-fach kovarianten Tensoren (kurz: (r,s)-Tensoren) über V.

Als Verjüngung oder Kontraktion eines Tensors (genauer: (k,l)-Kontraktion) bezeichnet man die lineare Abbildung

 C^k_l: T^{r}_{s} (V) \rightarrow T^{r-1}_{s-1}(V)

mit  1 \le k \le r und 1 \le l \le s, welche durch

 v_1 \otimes \cdots \otimes v_{r} \otimes \xi_1 \otimes \cdots \otimes \xi_{s} \mapsto
 \xi_l (v_k) (v_1 \otimes \cdots \otimes v_{k-1} \otimes v_{k+1} \otimes \cdots \otimes v_{r} \otimes \xi_1 \otimes \cdots \otimes \xi_{l-1} \otimes \xi_{l+1} \otimes \cdots \otimes \xi_{s})

definiert werden kann. Dabei ist  v_1 \otimes \cdots \otimes v_{r} \otimes \xi_1 \otimes \cdots \otimes \xi_{s} ein Element von T^r_s(V). Nicht jedes Element von T^r_s(V) ist von dieser Form, aber die Elemente dieser Form erzeugen den Tensorraum und die Abbildung ist wohldefiniert. Setzt man n := r+s, so wird also aus einem Tensor n-ter Stufe ein Tensor der Stufe n - 2.

Beispiele

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 28.08. 2020