Trajektorie (Mathematik)

Mit Trajektorie (auch Bahnkurve) wird in der Mathematik meist die Lösungskurve einer Differentialgleichung mit vorgegebenen Anfangsbedingungen bezeichnet. Die Differentialgleichung beschreibt die Koordinaten eines Systems (im Phasenraum oder Ortsraum) in Abhängigkeit von einem Parameter, der in mechanischen Anwendungen meist die Zeit ist. Dann beschreibt die Trajektorie die Koordinaten des Systems in Abhängigkeit von der „Zeit“.

Definition

Wir betrachten die Lösung eines Anfangswertproblems der folgenden Form:

$y'=f(y),\quad y(0)=y_{0}$

Die Lösung dieses Anfangswertproblems sei $y(t,y_{0})$ auf einem (maximalen) Existenzintervall $I_\mathrm{max} (t)$ .

Als Trajektorie oder Phasenkurve des Gleichungssystems durch $y_{0}$ wird dann das Bild

$T(y_0):=\lbrace y(t,y_0) | t \in I_\mathrm{max}(y_0) \rbrace$

bezeichnet, das durch diese Lösung definiert ist.

Phasenraum

Die gemeinsame Darstellung aller Trajektorien eines Systems bezeichnet man als Phasenporträt bzw. Phasenraum. Das Phasenportrait enthält also alle Trajektorien, die die Lösungen der Anfangswertprobleme $y(t,y_{0})$ liefern, wenn der Anfangswert $y_{0}$ alle Werte des Definitionsbereichs durchläuft.

Beispiel

Gegeben sei das folgende System linearer Differentialgleichungen:

$y'(t)={\begin{pmatrix}u'(t)\\v'(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&1-a\\a-1&a\end{pmatrix}}y(t)$

Eine allgemeine Lösung des Systems ist die folgende Linearkombination:

$y(t)={\begin{pmatrix}u(t)\\v(t)\end{pmatrix}}=C_{1}{\mathrm {e}}^{{at}}{\begin{pmatrix}\cos((a-1)t)\\\sin((a-1)t)\end{pmatrix}}+C_{2}{\mathrm {e}}^{{at}}{\begin{pmatrix}-\sin((a-1)t)\\\cos((a-1)t)\end{pmatrix}}$

Wir wollen Trajektorien für a=1 zeichnen. Die darzustellende Funktion v(u) kann entweder durch Umformen der Lösungen für u(t) und v(t) oder durch Lösen der folgenden Differentialgleichung gefunden werden ( u'(t)=du und v'(t)=dv aus der gegebenen Differentialgleichung):

${\frac {dv}{du}}={\frac {(a-1)u+av}{au+(1-a)v}}={\frac {(1-1)u+1v}{1u+(1-1)v}}$

Als Lösung ergibt sich:

$v(u)=C_{3}u$

Der Graph dieser Funktion ist die gesuchte Trajektorie, die Konstante $C_{3}$ ist über die Anfangsbedingung des DGL-Systems bestimmt. Hier ist ein Phasenraum aus zwölf Trajektorien mit verschiedenen Anfangsbedingungen dargestellt.

Phasenportrait für das System linearer Differentialgleichungen mit 12 verschiedenen Anfangswerten.

Trajektorien in der Geometrie

In der Geometrie wird mit dem Begriff Trajektorie auch ein Funktionsgraph bezeichnet, der eine gegebene Kurvenschar isogonal, das heißt immer im gleichen Winkel, schneidet. Beträgt dieser Winkel 90°, so spricht man von einer orthogonalen Trajektorie.

Siehe auch

Weg (Physik)

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de