Konfinalität

In der Ordnungstheorie und Mengenlehre findet die Eigenschaft konfinal (auch: kofinal, engl. cofinal) Anwendung bei topologischen Teilnetzen, so auch bei den proendlichen Zahlen. Der davon abgeleitete Begriff der Konfinalität (auch: Kofinalität, engl. cofinality) bezeichnet ein spezielles Attribut von halbgeordneten Teilmengen, nämlich eine Kardinalzahl.

Der Begriff wurde von Felix Hausdorff eingeführt.

Definitionen

{\displaystyle \operatorname {cf} (\lambda )\;:=\min _{X\subset \lambda {\text{ konfinal}}}|X|}.
Falls \operatorname{cf}(\lambda) < \lambda, so heißt \lambda singulär.
Falls \operatorname{cf}(\lambda) = \lambda, so heißt \lambda regulär.

Begriffsbildung im Sinne von Hausdorff

In Hausdorffs Grundzüge der Mengenlehre findet man die eine allgemeinere Begriffsbildung zur Konfinalität, welche im Falle, dass eine linear geordnete Menge vorliegt, mit der obigen übereinstimmt. Dieser allgemeinere Begriff lässt sich folgendermaßen darstellen:

Folgerungen

{\displaystyle X{\overset {\underset {\mathrm {cof} }{}}{\subset }}\lambda \quad :\Longleftrightarrow \quad X\subset \lambda \;\;\wedge \;\;X} ist kofinal in \lambda
ist transitiv und reflexiv, also eine Quasiordnung.
Transitivität: Ist {\displaystyle X{\overset {\underset {\mathrm {cof} }{}}{\subset }}\lambda } und {\displaystyle Y{\overset {\underset {\mathrm {cof} }{}}{\subset }}X}, dann ist erstens {\displaystyle Y\subset X\subset \lambda }. Zweitens gibt es zu jedem {\displaystyle \xi \in X} ein {\displaystyle \eta \in Y} mit {\displaystyle \xi \leq \eta }. Ist nun {\displaystyle \mu \in \lambda }, dann gibt es ein {\displaystyle \xi \in X} mit {\displaystyle \mu \leq \xi }, also auch ein {\displaystyle \eta \in Y} mit {\displaystyle \mu \leq \xi \leq \eta }. Zusammengenommen folgt {\displaystyle Y{\overset {\underset {\mathrm {cof} }{}}{\subset }}\lambda }.
Die Reflexivität ist trivial.

Beispiele

Literatur

Anmerkungen

  1. In Bezug auf die vorliegende Ordnungsrelation \preccurlyeq .
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 04.06. 2020