Wachstum (Gruppentheorie)

Im mathematischen Gebiet der Gruppentheorie zählt die Wachstumsrate einer Gruppe grob die Anzahl der Elemente, die sich als Produkte der Länge aus gegebenen Erzeugern darstellen lassen.

Wachstum von Graphen

Es sei (V,E) ein Graph und $v_{0}\in V$ ein fest gewählter Knoten.

Für $n\in \mathbb {N}$ sei $a_{n}$ die Anzahl der Knoten $v\in V$ , für die es einen Weg aus maximal Kanten von $v_{0}$ nach gibt.

Die Wachstumsrate des Graphen ist per Definition die Wachstumsrate der Folge $(a_{n})_{n}$ .

Wachstum von Gruppen

Es sei eine endlich erzeugte Gruppe und ein endliches Erzeugendensystem. Als Wachstumsrate der Gruppe bezeichnet man die Wachstumsrate des Cayleygraphen für .

Genauer bedeutet dies das Folgende: Ist $S=\{s_{1},\dots ,s_{k}\}$ , so lässt sich jedes Gruppenelement $g\in G$ als Wort $g=s_{i_{1}}^{e_{1}}\cdots s_{i_{m}}^{e_{m}}$ schreiben, wobei $m\in \mathbb{N}$ , die Indizes $i_{1},\dots ,i_{m}$ Elemente von $\{1,\dots ,n\}$ und die Exponenten $e_{1},\dots ,e_{m}\in \mathbb {Z}$ beliebige ganze Zahlen sind. Für jedes $n\in \mathbb {N}$ sei $a_{n}$ die Anzahl der Elemente von , die eine solche Schreibung mit $|e_{1}|+\dots +|e_{m}|\leq n$ besitzen. Die Wachstumsrate der Gruppe ist dann gerade die Wachstumsrate der Folge $(a_{n})_{n}$ .

Unterschiedliche Erzeugendensysteme geben zwar unterschiedliche Cayleygraphen und damit auch unterschiedliche Folgen $(a_{n})_{n}$ , jedoch sind die Cayleygraphen unterschiedlicher endlicher Erzeugendensysteme zueinander bilipschitz-äquivalent, womit die Wachstumsrate der Folge nur von der Gruppe und nicht vom gewählten Erzeugendensystem abhängt.

Beispiele

Das Wachstum von $\mathbb {Z}$ ist linear.
Das Wachstum von $\Z^2$ ist quadratisch.
Das Wachstum einer nilpotenten Gruppe ist polynomiell vom Grad $\sum rk(L_{i}(G))$ , wobei $L_{i}(G)$ die abelschen Gruppen in der absteigenden Zentralreihe von und $rk(L_{i}(G))$ ihr Rang sind.
Satz von Gromow: Eine Gruppe hat genau dann polynomielles Wachstum, wenn sie virtuell nilpotent ist.
Satz von Milnor-Wolf: Eine auflösbare Gruppe hat entweder polynomielles oder exponentielles Wachstum.
Die Grigortschuk-Gruppe hat subexponentielles, aber nicht polynomielles Wachstum.
Das Wachstum einer nichtabelschen freien Gruppe ist exponentiell.
Fundamentalgruppen kompakter riemannscher Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung haben exponentielles Wachstum.

Basierend auf einem Artikel in:

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