Freies Produkt

In der Algebra versteht man unter dem freien Produkt eine bestimmte Konstruktion einer Gruppe aus zwei oder mehr gegebenen Gruppen. Man kann sich das freie Produkt als eine nicht-kommutative Entsprechung der direkten Summe vorstellen, ungefähr wie eine Entsprechung von nichtkommutativen Gruppen zu abelschen Gruppen.

Konstruktion

Hat man eine Familie $(G_{i})_{i\in I}$ von (beliebigen) Gruppen gegeben, so besteht das freie Produkt $\mathop {*} _{i\in I}G_{i}$ aus der Menge aller endlichen Wörter $g_{i_{1}}\cdots g_{i_{k}}$ (für gewisse $i_{j}\in I$ und $g_{i_{j}}\in G_{i_{j}}$ ), wobei folgende Konventionen gelten sollen:

Jedes Element $g_{i}$ ist vom Einheitselement in $G_{i}$ verschieden.
$g_{i_{j}}$ und $g_{i_{j+1}}$ sind nicht aus derselben Gruppe.

Wörter, die diese Bedingungen erfüllen, nennt man reduziert. Das leere Wort gilt auch als reduziert.

Durch die Anwendung der folgenden beiden Regeln kann ein beliebiges Wort stets zu einem eindeutig bestimmten reduzierten Wort überführt werden:

Sind $g_{i_{j}}$ und $g_{i_{j+1}}$ aus derselben Gruppe, also $i_{j}=i_{j+1}$ , ersetze die beiden Elemente durch das Produkt $g_{i_{j}}\circ _{G_{i_{j}}}g_{i_{j+1}}$ der beiden in der Gruppe.
Ist $g_{i}$ das neutrale Element von $G_{i}$ , so streiche es aus dem Wort.

Auf der Menge der reduzierten Wörter $\mathop {*} _{i\in I}G_{i}$ zusammen mit dem leeren Wort als Einheitselement kann man nun eine Gruppenstruktur definieren. Man definiert das Produkt durch Hintereinanderschreiben

$(g_{i_{1}}\cdots g_{i_{k}})\cdot (h_{j_{1}}\cdots h_{j_{l}}):=g_{i_{1}}\cdots g_{i_{k}}h_{j_{1}}\cdots h_{j_{l}}$

und gegebenenfalls Übergang zu einem reduzierten Wort durch Anwendung obiger Regeln.

Jede Gruppe $G_{i}$ kann man als Untergruppe in $\mathop {*} _{i\in I}G_{i}$ ansehen, indem man $G_{i}$ mit der Menge der Wörter, die nur aus einem Element $g\in G_{i}$ und dem Einselement bestehen, identifiziert.

Universelle Eigenschaft

Setze $G=\mathop {*} _{i\in I}G_{i}$ und schreibe $\mathrm {ins} _{i}\colon G_{i}\to G$ für die einbettende Abbildung.

Das freie Produkt von Gruppen erfüllt die folgende universelle Eigenschaft:

Sind $\varphi _{i}\colon G_{i}\to H$ Homomorphismen, so gibt es genau einen Homomorphismus $\varphi \colon G \to H$ , sodass $\varphi \circ \mathrm {ins} _{i}=\varphi _{i}$

gelten. (Man vergleiche die entsprechende universelle Eigenschaft für das direkte Produkt: Das freie Produkt erfüllt genau die duale universelle Eigenschaft und ist demzufolge ein Beispiel für ein Koprodukt).

Beispiele

Sind $(X,x)$ und $(Y,y)$ punktierte topologische Räume, und betrachtet man die Einpunktvereinigung (engl. wedge) $X\vee Y$ der beiden Räume, das heißt, die beiden Räume an den Punkten und zusammen, so ist die Fundamentalgruppe des entstandenen Raumes gleich dem freien Produkt der Fundamentalgruppen der ursprünglichen Räume:

$\pi _{1}(X\vee Y)=\pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y)$ .

Der Satz von Seifert und van Kampen verallgemeinert dieses Prinzip für Vereinigungen von Räumen, die einen komplizierteren Durchschnitt haben (im eben genannten Fall ist der Durchschnitt ein Punkt).

Das freie Produkt von $\mathbb {Z}$ mit sich selbst, das heißt $\mathbb {Z} *\mathbb {Z}$ , ist isomorph zur von zwei Elementen erzeugten freien Gruppe. Topologisch ergibt sie sich nach Obigem als Fundamentalgruppe einer Einpunktvereinigung von zwei Kreisen, das heißt einer Acht.

Allgemeiner gilt: Das freie Produkt freier Gruppen ist wieder eine freie Gruppe, dabei addieren sich die Mächtigkeiten der Erzeugendensysteme.

$\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}\cong D_{\infty }$ . Dabei ist $\Z_2$ die zyklische Gruppe mit 2 Elementen und $D_{\infty }$ die unendliche Diedergruppe.

$\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{3}\cong \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ . Die rechte Seite ist dabei die Faktorgruppe aus der speziellen linearen Gruppe mit Koeffizienten aus $\mathbb {Z}$ nach ihrem Zentrum.

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de