Direkte Summe abelscher Gruppen

Der Begriff direkte Summe abelscher Gruppen verallgemeinert den Begriff der direkten Summe von Vektorräumen. Er ist von großer Bedeutung für die Theorie abelscher Gruppen. Kann eine Gruppe in eine direkte Summe zerlegt werden, so wird dadurch die Struktur der Gruppe auf einfachere Gruppen zurückgeführt. Neue Gruppen können aus den direkten Summanden gebildet werden. Die meisten Struktursätze machen eine Aussage über eine direkte Zerlegung von Gruppen.

Definitionen

  1. {\displaystyle A_{1}+A_{2}=A}.
  2. {\displaystyle A_{1}\cap A_{2}=0}.
In diesem Fall wird geschrieben {\displaystyle A=A_{1}\oplus A_{2}}. Dabei bezeichnet {\displaystyle 0} die Untergruppe, die nur das neutrale Element {\displaystyle  0 } enthält.
  1. {\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}=A}. Die Familie  (A_i|i \in I) erzeugt A.
  2. Für jedes  i \in I gilt: {\displaystyle A_{i}\cap \sum _{j\neq i}A_{j}=0}.
Es wird geschrieben: {\displaystyle A=\bigoplus \limits _{i\in I}A_{i}}. Oder {\displaystyle A=A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}} falls {\displaystyle I=\{1,\dots ,n\}}.

Erläuterungen, einfache Sätze

Homomorphismen liefern eine Möglichkeit, direkte Summanden zu kennzeichnen und zu erkennen:

  1. {\displaystyle gf} ist ein Monomorphismus {\displaystyle \iff \operatorname {Bild} (f)\cap \operatorname {Kern} (g)=0} und f ist ein Monomorphismus.
  2. Ist {\displaystyle gf} ein Epimorphismus, dann ist {\displaystyle \operatorname {Bild} (f)+\operatorname {Kern} (g)=B}.
  3. Ist {\displaystyle gf} ein Isomorphismus, dann ist {\displaystyle \operatorname {Bild} (f)\oplus \operatorname {Kern} (g)=B}.
  1. B ist direkter Summand in A.
  2. Es gibt einen Endomorphismus {\displaystyle \pi \colon A\to A} mit: {\displaystyle \pi ^{2}=\pi } und {\displaystyle \pi (A)=B}.
  3. Ist {\displaystyle \iota \colon B\to A} die Inklusionsabbildung, so gibt es einen Homomorphismus {\displaystyle \pi \colon A\to B} mit {\displaystyle \pi \iota =1_{B}}.

Beispiele

Sei {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2})\in \mathbb {Z} ^{2}}. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
  1. {\displaystyle {\vec {a}}\mathbb {Z} } ist direkter Summand in {\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}.
  2. Es gibt {\displaystyle b_{1},b_{2}\in \mathbb {Z} } mit {\displaystyle a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}=1}.

Die Eigenschaft 2. des letzten Satzes hat eine geometrische Bedeutung: Die Untergruppe {\displaystyle {\vec {a}}\mathbb {Z} } ist genau dann direkter Summand in {\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}, wenn es einen Vektor {\displaystyle {\vec {b}}=(b_{1},b_{2})} gibt, so dass {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} ein Parallelogramm vom Flächeninhalt 1 aufspannen.

Primäre Gruppen

Der folgende Satz macht eine Aussage über die Zerlegung von Torsionsgruppen. Dazu wird definiert: Sei p eine Primzahl. Die Gruppe A heißt p-primär genau dann, wenn es zu jedem a\in A ein n\in \mathbb {N} gibt mit {\displaystyle a\cdot p^{n}=0}. Die Summe aller p-primären Untergruppen einer Gruppe A ist p-primär. Es ist die größte p-primäre Untergruppe von A. Sie wird mit {\displaystyle A_{p}} bezeichnet und heißt p-Primärkomponente von A. Es gilt:

Ist A eine Torsionsgruppe, so ist {\displaystyle A=\bigoplus \limits _{p{\text{ prim}}}A_{p}}. Es ist A direkte Summe seiner Primärkomponenten.

Universelle Eigenschaft

  1. {\displaystyle A=A_{1}\oplus A_{2}}.
  2. Zu je zwei Homomorphismen {\displaystyle f_{i}\colon A_{i}\to B,i\in \{1,2\}} gibt es genau einen Homomorphismus f\colon A\to B mit {\displaystyle f\circ q_{i}=f_{i}} für {\displaystyle i\in \{1,2\}}.

Die zweite Aussage des Satzes ist die sogenannte universelle Eigenschaft der direkten Summe. Sie gilt für beliebige Indexmengen.

  1. Es ist {\displaystyle \bigoplus \limits _{i\in I}A_{i}=A}.
  2. Zu jeder Familie von Homomorphismen {\displaystyle f_{i}\colon A_{i}\to B} gibt es genau ein {\displaystyle f\colon A\to B} mit {\displaystyle f\circ q_{i}=f_{i}} . Das heißt, folgendes Diagramm ist für alle  i\in I kommutativ.
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Einige Struktursätze

  1. Satz: Ist {\displaystyle f\colon A\to \mathbb {Z} } ein Homomorphismus, so ist {\displaystyle A=\operatorname {Kern} (f)\oplus a\mathbb {Z} } mit a\in A und {\displaystyle a\cdot \mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} }.
  2. Satz: Jede Untergruppe von {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}} ist direkte Summe von höchstens n zyklischen Untergruppen.
  3. Satz: Ist  F torsionsfrei und von n Elementen erzeugt, so gibt es einen Monomorphismus {\displaystyle F\to \mathbb {Z} ^{n}}.
  4. Folgerung: Ist F eine von  n Elementen erzeugte torsionsfreie Gruppe, so gibt es ein k\leq n, so dass F isomorph zu {\displaystyle \mathbb {Z} ^{k}} ist.
  5. Ist A endlich erzeugt, so ist die Torsionsuntergruppe direkter Summand von A.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.01. 2021