Halbeinfache Lie-Gruppe
In der Mathematik ist eine halbeinfache Lie-Gruppe eine zusammenhängende Lie-Gruppe, deren Lie-Algebra halbeinfach ist.
Äquivalente Charakterisierungen
Eine zusammenhängende Lie-Gruppe ist genau dann halbeinfach, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:
- die Killing-Form ist nicht-ausgeartet,
- es gibt keine normalen nicht-trivialen auflösbaren Untergruppen,
- es gibt keine normalen nicht-trivialen abelschen Untergruppen.
Beispiele
- Spezielle lineare Gruppen: ,
- Spezielle orthogonale Gruppe
- Symplektische Gruppe
- Die obigen Beispiele sind einfache Lie-Gruppen. Die direkten Produkte endlich vieler einfacher Lie-Gruppen sind ebenfalls halbeinfache Lie-Gruppen.
- Halbeinfache algebraische Gruppen über sind halbeinfache Lie-Gruppen.
Maximal kompakte Untergruppe
Zu einer halbeinfachen Lie-Gruppe gibt es eine bis auf Konjugation eindeutige maximale kompakte Untergruppe . Beispielsweise ist SO(n) eine maximal kompakte Untergruppe von und SU(n) eine maximal kompakte Untergruppe von .
Symmetrischer Raum
Sei eine maximal kompakte Untergruppe der (nicht-kompakten) halbeinfachen Lie-Gruppe . Der Quotient ist ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ.
Der duale symmetrische Raum wird mit bezeichnet. Seine Isometriegruppe ist eine kompakte Lie-Gruppe.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.02. 2022