Halbeinfache Lie-Gruppe

In der Mathematik ist eine halbeinfache Lie-Gruppe eine zusammenhängende Lie-Gruppe, deren Lie-Algebra halbeinfach ist.

Äquivalente Charakterisierungen

Eine zusammenhängende Lie-Gruppe ist genau dann halbeinfach, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

Beispiele

Maximal kompakte Untergruppe

Zu einer halbeinfachen Lie-Gruppe G gibt es eine bis auf Konjugation eindeutige maximale kompakte Untergruppe K. Beispielsweise ist SO(n) eine maximal kompakte Untergruppe von SL(n,\mathbb{R} ) und SU(n) eine maximal kompakte Untergruppe von {\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}.

Symmetrischer Raum

Sei K eine maximal kompakte Untergruppe der (nicht-kompakten) halbeinfachen Lie-Gruppe G. Der Quotient G/K ist ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ.

Der duale symmetrische Raum wird mit G^{u}/K bezeichnet. Seine Isometriegruppe {\displaystyle G^{u}} ist eine kompakte Lie-Gruppe.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.02. 2022