Killing-Form

Die Killing-Form spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie und in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren. Sie ist nach Wilhelm Killing benannt.

Definition

Sei ${\mathfrak {g}}$ eine Lie-Algebra über dem Körper und $ad:{\mathfrak g}\rightarrow {\mathfrak {gl}}({\mathfrak g})$ ihre adjungierte Darstellung.

Die Killing-Form ist die durch

$B(X,Y):=Tr(ad(X)\circ ad(Y))$

für $X,Y\in {\mathfrak g}$ definierte symmetrische Bilinearform

$B:{\mathfrak g}\times {\mathfrak g}\rightarrow k$ .

Eigenschaften

ist eine symmetrische Bilinearform.
ist assoziativ, das heißt, es gilt $B([X,Y],Z)=B(X,[Y,Z])$ für alle $X,Y,Z\in {\mathfrak g}$ .
Für alle $Z\in {\mathfrak g}$ ist schiefsymmetrisch bzgl. , das heißt für alle $X,Y\in {\mathfrak g}$ gilt

Die Killing-Form ist nicht-ausgeartet genau dann, wenn die Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ halb-einfach ist.
Falls ${\mathfrak {g}}$ die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ist, dann ist -invariant, d.h. für alle $g\in G,X,Y\in {\mathfrak g}$ gilt

Falls ${\mathfrak {g}}$ die Lie-Algebra einer halbeinfachen Lie-Gruppe ist, dann ist die Killing-Form negativ definit genau dann, wenn kompakt ist. Insbesondere definiert eine bi-invariante Riemannsche Metrik auf einer kompakten, halbeinfachen Lie-Gruppe . Allgemeiner ist auf der Lie-Algebra einer kompakten (nicht notwendig halbeinfachen) Lie-Gruppe die Killingform stets negativ semidefinit.

Beispiele

Die Killing-Form nilpotenter Lie-Algebren ist identisch Null.

Für viele klassische Lie-Algebren lässt sich die Killing-Form explizit angeben:

g	$B(X,Y)$
gl(n, R)	$2ntr(XY)-2tr(X)tr(Y)$
sl(n, R)	$2ntr(XY)$
su(n)	$2ntr(XY)$
so(n, R)	$(n-2)tr(XY)$
so(n)	$(n-2)tr(XY)$
sp(n, R)	$(2n+2)tr(XY)$
sp(n, C)	$(2n+2)tr(XY)$

Riemannsche Metrik auf symmetrischen Räumen von nichtkompaktem Typ

Ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ ist eine Mannigfaltigkeit der Form

mit einer halbeinfachen Lie-Gruppe und einer maximal kompakten Untergruppe .

Zu einem symmetrischen Raum hat man eine Cartan-Zerlegung

${\mathfrak g}={\mathfrak k}\oplus {\mathfrak p}$

und man kann den Tangentialraum $T_{{\left[e\right]}}G/K$ im neutralen Element mit ${\mathfrak p}$ identifizieren.

Die Killing-Form ist negativ definit auf ${\mathfrak k}$ und positiv definit auf ${\mathfrak p}$ . Insbesondere definiert sie ein Ad(G) -invariantes Skalarprodukt auf ${\mathfrak p}$ und damit eine links-invariante Riemannsche Metrik auf M=G/K . Bis auf Multiplikation mit Skalaren ist dies die einzige -invariante Metrik auf .

Die Differentialgeometrie symmetrischer Räume beschäftigt sich mit den Eigenschaften dieser Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

Klassifikation halbeinfacher Lie-Algebren

Die Killing-Form spielt eine Schlüsselrolle in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren über algebraisch abgeschlossenen Körpern der Charakteristik $0$ .

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de