Polygammafunktion
In der Mathematik sind die Polygammafunktionen eine Reihe spezieller Funktionen, die als die Ableitungen der Funktion definiert sind. Dabei bezeichnet die Gammafunktion und den natürlichen Logarithmus.
Die ersten beiden Polygammafunktionen werden Digammafunktion und Trigammafunktion genannt.
Notation
Die Polygammafunktionen werden mit dem kleinen griechischen Buchstaben Psi gekennzeichnet. Bei der ersten Polygammafunktion wird der Index meist weggelassen oder als 0 festgelegt; sie wird als Digammafunktion bezeichnet. Die zweite Polygammafunktion, also die Trigammafunktion, hat das Symbol (oder seltener ) und ist die zweite Ableitung von . Allgemein wird die -te Polygammafunktion oder Polygammafunktion der Ordnung mit oder bezeichnet und als die -te Ableitung von definiert.
Definition und weitere Darstellungen
Es ist
mit der Digammafunktion . Derartige Ableitungen werden auch als logarithmische Ableitungen von bezeichnet.
Eine Integraldarstellung ist
für und
Eigenschaften
Differenzengleichungen
Die Polygammafunktionen haben die Differenzengleichungen
Reflexionsformel
Eine weitere wichtige Beziehung lautet
Multiplikationsformel
Die Multiplikationsformel ist für gegeben durch
Zum Fall also der Digammafunktion, siehe dort.
Reihendarstellungen
Eine Reihendarstellung der Polygammafunktion lautet
wobei und eine beliebige komplexe Zahl außer den negativen ganzen Zahlen ist. Die Formel lässt sich einfacher unter Verwendung der hurwitzschen Zetafunktion schreiben als
Die Verallgemeinerung der Polygammafunktionen auf beliebige, nicht-ganze Ordnungen ist weiter unten angegeben.
Eine weitere Reihendarstellung ist
wobei das Kronecker-Delta bezeichnet, die aus der Zerlegung der Gammafunktion nach dem weierstraßschen Produktsatz folgt.
Die Taylor-Reihe um ist gegeben durch
die für konvergiert. bezeichnete dabei die riemannsche Zetafunktion.
Spezielle Werte
Die Werte der Polygammafunktionen für rationale Argumente lassen sich meist ausdrücken unter Verwendung von Konstanten und Funktionen wie , Quadratwurzel, Clausen-Funktion , riemannsche ζ-Funktion, catalansche Konstante sowie dirichletsche β-Funktion; z. B.
Allgemein gilt ferner:
- .
Die m-te Ableitung des Tangens kann ebenfalls mit der Polygammafunktion ausgedrückt werden:
- .
Darüber hinaus haben sich spezielle Werte von Polygammafunktionen als universelle Konstanten immer wieder bei einer geschlossenen Grenzwert-Beschreibung von Reihen oder auch Integralen als nützlich erwiesen, zum Beispiel gilt
Verallgemeinerte Polygammafunktion
Die verallgemeinerte Polygammafunktion erfüllt für und die Funktionalgleichung
wobei die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet. Wegen
für ganzzahlige ist die weiter oben angegebene Differenzengleichung für natürliche eingeschlossen.
Unter Zuhilfenahme der Hurwitzschen -Funktion erhält man dann die Beziehung
welche die Funktionalgleichung erfüllt.
Als Konsequenz daraus lässt sich die Verdopplungsformel
herleiten. Eine Verallgemeinerung davon lautet
die ein Äquivalent zur Gaußschen Multiplikationsformel der Gammafunktion darstellt und die Multiplikationsformel als Spezialfall für enthält.
q-Polygammafunktion
Die -Polygammafunktion ist definiert durch
- .
© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 30.12. 2021