Polygammafunktion

Die ersten Polygammafunktionen im Reellen
m = 0   m = 1   m = 2   m = 3   m = 4

In der Mathematik sind die Polygammafunktionen {\displaystyle \psi _{n}(z)} eine Reihe spezieller Funktionen, die als die Ableitungen der Funktion {\displaystyle \ln \Gamma (z)} definiert sind. Dabei bezeichnet \Gamma (z) die Gammafunktion und \ln den natürlichen Logarithmus.

Die ersten beiden Polygammafunktionen werden Digammafunktion und Trigammafunktion genannt.

 
Darstellung der ersten fünf Polygammafunktionen in der komplexen Ebene
Complex LogGamma.jpg Complex Polygamma 0.jpg Complex Polygamma 1.jpg Complex Polygamma 2.jpg Complex Polygamma 3.jpg Complex Polygamma 4.jpg
\ln \Gamma (z) \psi ^{{(0)}}(z) \psi ^{{(1)}}(z) \psi ^{{(2)}}(z) \psi ^{{(3)}}(z) \psi ^{{(4)}}(z)

Notation

Die Polygammafunktionen werden mit dem kleinen griechischen Buchstaben Psi \psi gekennzeichnet. Bei der ersten Polygammafunktion wird der Index meist weggelassen oder als 0 festgelegt; sie wird als Digammafunktion \psi (z) bezeichnet. Die zweite Polygammafunktion, also die Trigammafunktion, hat das Symbol \psi _{1} (oder seltener \psi ^{{(1)}}) und ist die zweite Ableitung von {\displaystyle \ln \Gamma (z)}. Allgemein wird die n-te Polygammafunktion oder Polygammafunktion der Ordnung n mit \psi _{n} oder \psi ^{{(n)}} bezeichnet und als die (n+1)-te Ableitung von \ln \Gamma (x) definiert.

Definition und weitere Darstellungen

Es ist

{\displaystyle \psi _{m}(z)={\frac {\mathrm {d} ^{m+1}}{\mathrm {d} z^{m+1}}}\ln \Gamma (z)={\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} z^{m}}}\,\psi (z)}

mit der Digammafunktion \psi (z). Derartige Ableitungen werden auch als logarithmische Ableitungen von {\displaystyle \Gamma (\cdot )} bezeichnet.

Eine Integraldarstellung ist

\psi _{m}(z)=(-1)^{{m+1}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac  {t^{m}{\mathrm  e}^{{-zt}}}{1-{\mathrm  e}^{{-t}}}}\,{\mathrm  d}t

für {\displaystyle {\rm {{Re}\,z>0}}} und m>0.

Eigenschaften

Differenzengleichungen

Die Polygammafunktionen haben die Differenzengleichungen

\psi _{m}(z+1)=\psi _{m}(z)+(-1)^{m}\;m!\;z^{{-m-1}}.

Reflexionsformel

Eine weitere wichtige Beziehung lautet

(-1)^{m}\psi _{m}(1-z)-\psi _{m}(z)=\pi {\frac  {{\mathrm  d}^{m}}{{\mathrm  d}z^{m}}}\cot {(\pi z)}.

Multiplikationsformel

Die Multiplikationsformel ist für m>0 gegeben durch

\sum _{{k=0}}^{{n-1}}\psi _{{m}}\left({\frac  {z+k}{n}}\right)=n^{{m+1}}\psi _{{m}}(z).

Zum Fall m=0, also der Digammafunktion, siehe dort.

Reihendarstellungen

Eine Reihendarstellung der Polygammafunktion lautet

\psi _{m}(z)=(-1)^{{m+1}}\;m!\;\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac  1{(z+k)^{{m+1}}}}

wobei m>0 und z\not =-1,-2,-3,\ldots eine beliebige komplexe Zahl außer den negativen ganzen Zahlen ist. Die Formel lässt sich einfacher unter Verwendung der hurwitzschen Zetafunktion \zeta (x,y) schreiben als

\psi _{m}(z)=(-1)^{{m+1}}\;m!\;\zeta (m+1,z).

Die Verallgemeinerung der Polygammafunktionen auf beliebige, nicht-ganze Ordnungen m ist weiter unten angegeben.

Eine weitere Reihendarstellung ist

\psi _{m}(z)=-\gamma \delta _{{m,0}}\;-\;{\frac  {(-1)^{m}m!}{z^{{m+1}}}}\;+\;\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\left({\frac  {1}{k}}\delta _{{m,0}}\;-\;{\frac  {(-1)^{m}m!}{(z+k)^{{m+1}}}}\right),

wobei \delta _{{n,0}} das Kronecker-Delta bezeichnet, die aus der Zerlegung der Gammafunktion nach dem weierstraßschen Produktsatz folgt.

Die Taylor-Reihe um z=1 ist gegeben durch

\psi _{m}(z+1)=\sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{{m+k+1}}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac  {z^{k}}{k!}},

die für |z|<1 konvergiert. \zeta bezeichnete dabei die riemannsche Zetafunktion.

Spezielle Werte

Die Werte der Polygammafunktionen für rationale Argumente lassen sich meist ausdrücken unter Verwendung von Konstanten und Funktionen wie \pi , Quadratwurzel, Clausen-Funktion {\mathrm  {Cl}}(x), riemannsche ζ-Funktion, catalansche Konstante G sowie dirichletsche β-Funktion; z. B.

\psi _{m}({\tfrac  12})=(-1)^{{m+1}}m!\,(2^{{m+1}}-1)\zeta (m+1),\qquad m\in \mathbb{N}

Allgemein gilt ferner:

\psi _{m}(1)=(-1)^{{m+1}}m!\,\zeta (m+1),\qquad m\in \mathbb{N} .

Die m-te Ableitung des Tangens kann ebenfalls mit der Polygammafunktion ausgedrückt werden:

{\frac  {{\mathrm  {d}}^{m}}{{\mathrm  {d}}x^{m}}}\tan x={\frac  {\psi _{m}({\tfrac  12}+{\tfrac  {x}{\pi }})-(-1)^{m}\,\psi _{m}({\tfrac  12}-{\tfrac  {x}{\pi }})}{\pi ^{{m+1}}}}.

Darüber hinaus haben sich spezielle Werte von Polygammafunktionen als universelle Konstanten immer wieder bei einer geschlossenen Grenzwert-Beschreibung von Reihen oder auch Integralen als nützlich erwiesen, zum Beispiel gilt

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{4}}}={\frac {1}{768}}\left(\psi _{3}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-8\pi ^{2}\right).}

Verallgemeinerte Polygammafunktion

Die verallgemeinerte Polygammafunktion erfüllt für {\displaystyle s\in \mathbb {C} } und {\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus -\mathbb {N} _{0}} die Funktionalgleichung

\psi _{s}(z+1)=\psi _{s}(z)+{\frac  {\ln z-\psi (-s)-\gamma }{\Gamma (-s)}}\,z^{{-(s+1)}},

wobei \gamma die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet. Wegen

{\frac  {\psi (-m)}{\Gamma (-n)}}=(-1)^{{n-1}}n!

für ganzzahlige m,n\geq 0 ist die weiter oben angegebene Differenzengleichung für natürliche n eingeschlossen.

Unter Zuhilfenahme der Hurwitzschen \zeta -Funktion erhält man dann die Beziehung

\psi _{s}(z)={\frac  1{\Gamma (-s)}}\left({\frac  {\partial }{\partial s}}+\psi (-s)+\gamma \right)\zeta (s+1,z)={\mathrm  e}^{{-\gamma \,s}}{\frac  {\partial }{\partial s}}\left({\mathrm  e}^{{\gamma \,s}}\,{\frac  {\zeta (s+1,z)}{\Gamma (-s)}}\right),

welche die Funktionalgleichung erfüllt.

Als Konsequenz daraus lässt sich die Verdopplungsformel

\psi _{s}\left({\frac  {z}{2}}\right)+\psi _{s}\left({\frac  {z+1}{2}}\right)=2^{{s+1}}\psi _{s}(z)+{\frac  {2^{{s+1}}\ln 2}{\Gamma (-s)}}\zeta (s+1,z)

herleiten. Eine Verallgemeinerung davon lautet

\sum \limits _{{k=0}}^{{n-1}}\psi _{s}\left({\frac  {z+k}{n}}\right)=n^{{s+1}}\psi _{s}(z)+{\frac  {n^{{s+1}}\ln n}{\Gamma (-s)}}\zeta (s+1,z),

die ein Äquivalent zur Gaußschen Multiplikationsformel der Gammafunktion darstellt und die Multiplikationsformel als Spezialfall für {\displaystyle s\in \mathbb {N} } enthält.

q-Polygammafunktion

Die q-Polygammafunktion ist definiert durch

\psi _{n}^{q}(z)={\frac  {\partial ^{n}\psi _{q}(z)}{\partial z^{n}}}.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 30.12. 2021