Lokal integrierbare Funktion

Eine lokal integrierbare Funktion ist eine Funktion, die auf jedem Kompaktum integrierbar ist, jedoch muss diese Funktion auf gewissen offenen Mengen nicht integrierbar sein. Solche Funktionen werden in der Analysis beziehungsweise Funktionalanalysis als Hilfsmittel eingesetzt. So spielen diese insbesondere in der Distributionentheorie eine wichtige Rolle. Außerdem kann man das Konzept der lokal integrierbaren Funktionen auf die lokal p-integrierbaren Funktionen und auf die lokal schwach differenzierbaren Funktionen übertragen.

Definition

In diesem Abschnitt werden die lokal integrierbare Funktion und der Funktionenraum L_{{{\mathrm  {loc}}}}^{1} definiert. Sei \Omega \subset \mathbb {R} ^{n} eine offene Teilmenge und {\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {C} } eine Lebesgue-messbare Funktion. Die Funktion f heißt lokal integrierbar, falls für jedes Kompaktum K \subset \Omega das Lebesgue-Integral endlich ist, also

\int _{K}|f(x)|\,{\mathrm  {d}}x<\infty .

Die Menge dieser Funktionen wird mit \mathcal{L}^1_{\operatorname{loc}}(\Omega) bezeichnet. Identifiziert man alle Funktionen aus \mathcal{L}^1_{\operatorname{loc}}(\Omega) miteinander, die fast überall gleich sind, so erhält man den Raum L^1_{\operatorname{loc}}(\Omega). Im Zusammenhang mit der Distributionentheorie findet man auch die äquivalente Definition

L_{{\operatorname {loc}}}^{1}(\Omega ):=\left\{f\in L^{0}(\Omega )\,\left|\,\int _{{\mathbb{R} ^{n}}}f(x)\phi (x)\,{\mathrm  {d}}x<\infty ,\ \phi \in {\mathcal  {D}}(\Omega )\right.\right\},

wobei L^{0}(\Omega ) die Menge der Äquivalenzklassen der messbaren Funktionen, die fast überall gleich sind, und {\mathcal  {D}}(\Omega )\cong C_{c}^{\infty }(\Omega ) der Raum der Testfunktionen ist.

Anstatt zu fordern, dass \Omega offen ist, wird \Omega von anderen Autoren auch als \sigma -kompakt vorausgesetzt. Zwar ist es für die Definition des Raums L^{1}\left(\Omega \right) ausreichend, \Omega \subset \mathbb {R} ^{n} als messbare Menge vorauszusetzen. Für die Definition des Raums L_{{{\mathrm  {loc}}}}^{1}\left(\Omega \right) der lokal integrierbaren Funktionen wäre diese Allgemeinheit aber ungünstig, da es messbare Mengen gibt, die außer Nullmengen kein Kompaktum enthalten. Dies würde dazu führen, dass jede messbare Funktion lokal integrierbar wäre. Außerdem wären alle Halbnormen \left\|\,\cdot \right\|_{{L^{1}\left(K\right)}}\ \left(K\subset \subset \Omega \right) konstant Null, die von ihnen induzierte Topologie also indiskret. Funktionen ließen sich in einem solchen Raum nicht trennen. Ein derartiges pathologisches Beispiel erhält man mit \Omega =\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} , den irrationalen Zahlen.

Beispiele

f(x)={\begin{cases}{\frac  {1}{x}}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}
ist bei x=0 nicht lokal integrierbar.

Lokal p-integrierbare Funktion

Analog zu den L_{{{\mathrm  {loc}}}}^{1}(\Omega )-Funktionen kann man auch L_{{{\mathrm  {loc}}}}^{p}(\Omega )-Funktionen definieren. Sei \Omega \subset \mathbb {R} ^{n} offen oder \sigma -kompakt. Eine messbare Funktion {\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {C} } heißt lokal p-integrierbar, falls der Ausdruck

\int _{K}|f(x)|^{p}\,{\mathrm  {d}}x\,

für p\geq 1 und für alle Kompakta K \subset \Omega existiert.

Eigenschaften

\phi \in {\mathcal  {D}}(\mathbb{R} ^{n})\mapsto \int _{{\mathbb{R} ^{n}}}f(x)\phi (x)\,{\mathrm  {d}}x
für eine fixierte, lokal integrierbare Funktion f\in L_{{{\mathrm  {loc}}}}^{1}(\mathbb{R} ^{n}) definiert ist. Daher identifiziert man den Raum L_{{{\mathrm  {loc}}}}^{1}(\mathbb{R} ^{n}) mit der Menge der regulären Distributionen auf \mathbb {R} ^{n}. Mit der Abbildung \textstyle f\in L_{{{\mathrm  {loc}}}}^{1}(\mathbb{R} ^{n})\mapsto \left(\phi \in {\mathcal  {D}}(\mathbb{R} ^{n})\mapsto \int _{{\mathbb{R} ^{n}}}f(x)\phi (x)\,{\mathrm  {d}}x\right) erhält man also eine stetige Einbettung
L_{{{\mathrm  {loc}}}}^{1}(\mathbb{R} ^{n})\hookrightarrow {\mathcal  {D}}'(\mathbb{R} ^{n})
in den Raum der Distributionen.
L_{{{\mathrm  {loc}}}}^{r}(\Omega )\subset L_{{{\mathrm  {loc}}}}^{p}(\Omega ).
Dies gilt für die L^{p}(\Omega )-Räume im Allgemeinen nicht, außer wenn \Omega endliches Maß hat.

Lokal schwach differenzierbare Funktionen

Die Räume der schwach differenzierbaren Funktionen sind die Sobolev-Räume W^{{k,p}}(\Omega ). Da diese Unterräume der L^{p}(\Omega ) sind, definiert man auch für diese ganz analog lokale Sobolev-Räume. Sei \Omega \subset \mathbb {R} ^{n} offen und 1 \leq p \leq \infty. Eine Funktion f\in L_{{{\mathrm  {loc}}}}^{p}(\Omega ) liegt im Raum W_{{{\mathrm  {loc}}}}^{{k,p}}(\Omega ), wenn deren k-te schwache Ableitung existiert. Diese Definition ist äquivalent zu

W_{{{\mathrm  {loc}}}}^{{k,p}}(\Omega ):=\left\{u\in {\mathcal  {D}}'(\Omega )\mid \phi u\in W^{{k,p}}(\mathbb{R} ^{n}),\forall \phi \in {\mathcal  {D}}(\Omega )\right\},

wobei {\mathcal  {D}}'(\Omega ) der Raum der Distributionen ist. Diese Art von Sobolev-Räumen ist ebenfalls ein Fréchet-Raum. Für p=\infty entspricht der Sobolev-Raum W_{{{\mathrm  {loc}}}}^{{1,\infty }}(\Omega ) dem Raum der lokal Lipschitz-stetigen Funktionen. Schränkt man p auf n<p\leq \infty ein, wobei n die Dimension des umgebenden \mathbb {R} ^{n} ist, so ist f\in W_{{{\mathrm  {loc}}}}^{{1,p}} fast überall differenzierbar in \Omega und der Gradient von f stimmt mit dem Gradienten im Sinne der schwachen Ableitung überein. Da W_{{{\mathrm  {loc}}}}^{{1,\infty }}(\Omega ) der Raum der lokal Lipschitz-stetigen Funktionen ist, folgt der Satz von Rademacher als Spezialfall.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 20.06. 2021