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Fast überall

Die Sprechweise, dass eine Eigenschaft fast überall gilt, stammt aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, und ist eine Abschwächung dafür, dass die Eigenschaft für alle Elemente einer Menge gilt.

Definition

Gegeben sei ein Maßraum  (\Omega, \mathcal{A}, \mu) und eine Eigenschaft  E , die für alle Elemente von  \Omega sinnvoll definiert werden kann. Man sagt nun, dass die Eigenschaft  E fast überall (oder \mu-fast überall oder für \mu-fast alle Elemente) gilt, wenn es eine  \mu -Nullmenge  N gibt, sodass alle Elemente im Komplement  N^C der Nullmenge die Eigenschaft haben.

Bemerkung

Wichtig ist, dass die Eigenschaft  E wirklich für alle  \omega \in \Omega , also die Elemente der Grundmenge definiert werden kann. Außerdem wird insbesondere nicht gefordert, dass die Menge auf der  E nicht gilt, messbar ist. Diese Menge muss nur in einer Nullmenge enthalten sein. Bei vollständigen Maßen fällt beides zusammen.

Beispiele

Lebesgue-Maß

Betrachten wir als Beispiel den Maßraum  ([0,1],\mathcal{B} ([0,1]), \lambda) , d. h. einen Raum über das abgeschlossene Intervall von 0 bis 1, versehen mit der Borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß. Betrachtet man nun die Funktionenfolge

 f_n(x)=x^n ,

so konvergiert diese auf  [0,1) gegen 0, auf der Punktmenge  \{1\} ist sie konstant 1. Da aber jede Punktmenge eine Lebesgue-Nullmenge ist, und die Funktionenfolge auf dem Komplement (im Maßraum) der 1 gegen 0 konvergiert, so konvergiert sie  \lambda -fast überall gegen 0.

Dirac-Maß

Wir wählen wieder denselben Maßraum wie oben, diesmal versehen mit dem Dirac-Maß auf der 1 ( \mu_2=\delta_1 ). Bei Untersuchung derselben Funktionenfolge liefert dieses Maß genau das gegenteilige Ergebnis: Das Intervall  [0,1) ist eine  \delta_1 -Nullmenge und die Funktionenfolge ist auf der Menge  \{1\} mit Maß 1 konstant. Damit ist die Funktionenfolge  \delta_1 -fast überall konstant.

Die Wahl und Angabe des verwendeten Maßes ist also essentiell für die Verwendung der Sprechweise „fast überall“.

Verwandte Konzepte

In der Stochastik wird auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega,\mathcal{A},P) eine Eigenschaft, die fast überall gilt, auch als fast sichere (oder P-fast sichere) Eigenschaft bezeichnet.

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Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 03.12. 2018