Satz von Rademacher

Der Satz von Rademacher, benannt nach dem deutschen >Mathematiker Hans Rademacher, ist ein Satz der Analysis über Lipschitz-stetige Funktionen.

Aussage

Seien n,m\in \mathbb{N} natürliche Zahlen, U\subseteq \mathbb {R} ^{n} eine offene Teilmenge eines euklidischen Raumes und schließlich f\colon U\to \mathbb{R} ^{m} eine Lipschitz-stetige Funktion. Dann ist f fast überall (total) differenzierbar.

Das heißt, die Menge aller Punkte, in denen f nicht differenzierbar ist, ist eine Lebesgue-Nullmenge.

Verallgemeinerung

Es gibt eine Verallgemeinerung für Funktionen f\colon U\to (X;d_{X}), wobei X nun einen beliebigen metrischen Raum bezeichne.

Zunächst ist jedoch nicht klar, wie sich obiger Satz auf diesen Fall übertragen lässt, denn ein metrischer Raum trägt nicht a priori auch eine lineare Struktur.

Fasst man f als Funktion zwischen normierten Räumen auf und legt die Fréchet-Differenzierbarkeit zu Grunde, dann wird der Satz sogar falsch:

Als Gegenbeispiel dient hier klassisch die Funktion \Phi \colon [0;1]\to L^{1}([0;1]),\ t\mapsto \chi _{{[0;t]}}. Wobei \chi _{{[0;t]}} die charakteristische Funktion des Teilintervalls [0;t] bezeichne.
Es gilt für beliebige \ 1\geq y\geq x\geq 0:
\|\Phi (y)-\Phi (x)\|_{{L^{1}}}=\int _{0}^{1}|\chi _{{[0,y]}}(t)-\chi _{{[0,x]}}(t)|\,dt=\int _{x}^{y}1\ dt=|y-x|\,.
Dabei bezeichne \|.\|_{{L^{1}}} die L1-Norm. Das heißt, \Phi ist eine Isometrie und damit erst recht Lipschitz-stetig, es lässt sich aber zeigen, dass \Phi nirgendwo Fréchet-differenzierbar ist.

Der deutsche Mathematiker Bernd Kirchheim hat nun aber den Satz von Rademacher in einem anderen Sinne verallgemeinern können:

Ist eine Funktion von einem euklidischen in einen metrischen Raum Lipschitz-stetig, so ist sie fast überall metrisch differenzierbar.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 20.06. 2021