Fréchet-Ableitung

Die Fréchet-Ableitung (nach Maurice René Fréchet) verallgemeinert den Begriff der Ableitung aus der üblichen Differentialrechnung im $\mathbb {R} ^{n}$ auf normierte Räume. Bei Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Räumen ergibt sich aus diesem Differenzierbarkeitsbegriff der übliche Begriff der totalen Differenzierbarkeit.

Definition

Beziehung der drei Abbildungen

Es seien $(X,\|{\cdot }\|_{X})$ und $(Y,\|{\cdot }\|_{Y})$ zwei normierte Räume und $U\subset X$ eine offene Teilmenge. Ein Operator $A\colon U\to Y$ heißt Fréchet-differenzierbar an der Stelle $\varphi \in U$ , wenn es einen beschränkten linearen Operator $A'(\varphi )\colon X\to Y$ derart gibt, dass

$\lim _{{\|h\|_{X}\to 0}}{\frac {1}{\|h\|_{X}}}\,\|A(\varphi +h)-A(\varphi )-A'(\varphi )h\|_{Y}=0$

gilt. Der Operator $A'(\varphi )$ heißt Fréchet-Ableitung von an der Stelle $\varphi$ . Existiert die Fréchet-Ableitung für alle $\varphi \in U$ , dann heißt die Abbildung $A'\colon U\to L(X,Y)$ mit $\varphi \mapsto A'(\varphi )$ die Fréchet-Ableitung von auf . Mit L(X,Y) wird der Raum der stetigen linearen Abbildungen von nach bezeichnet.

Äquivalente Definition

Eine äquivalente Definition ist:

Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $\delta >0$ so, dass für alle $h\in X$ mit $\|h\|\leq \delta$ gilt

$\|A(\varphi +h)-A(\varphi )-A'(\varphi )h\|_{Y}\leq \epsilon \|h\|_{X}$ .

Dies lässt sich auch kurz mit Hilfe der Landau-Symbole schreiben:

$A(\varphi +h)-A(\varphi )=A'(\varphi )h+o(\|h\|_{X})$ für $h\to 0$ .

Beispiele

Lineare Operatoren

Für endlichdimensionale normierte Räume X,Y sind alle linearen Operatoren $A \colon X\to Y$ Fréchet-differenzierbar mit konstanter Ableitung. An jedem Punkt ist die Ableitung der lineare Operator selbst: $A'(\varphi )=A$ für alle $\varphi \in X$ .

Im unendlichdimensionalen Fall sind unter den linearen Operatoren genau die beschränkten (=stetigen) Fréchet-differenzierbar. Unbeschränkte lineare Operatoren sind nicht Fréchet-differenzierbar.

Reellwertige Funktionen

Ist $f\colon U\to {\mathbb {R}}$ eine reellwertige Funktion, die auf einer offenen Menge $U\subset {\mathbb {R}}^{n}$ definiert ist, und besitzt stetige partielle Ableitungen, dann ist auch Fréchet-differenzierbar. Die Ableitung an der Stelle wird durch den üblichen Gradienten von gegeben gemäß:

$f'(x)\colon h\mapsto {\mbox{grad}}f(x)\cdot h=\sum \limits _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)\,h_{i}$

Dieses Beispiel zeigt den Zusammenhang zur üblichen Differentialrechnung im $\mathbb {R} ^{n}$ . Die Fréchet-Ableitung ist also tatsächlich eine Verallgemeinerung der Differentialrechnung für normierte Räume.

Integraloperator

Sei $J=[a,b]\subset \mathbb{R}$ , $k\colon J\times J\to \mathbb{R}$ stetig und $f\colon J\times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ stetig und im zweiten Argument stetig differenzierbar. Der nichtlineare Integraloperator $F\colon C(J)\to C(J)$ definiert durch

$(Fx)(t)=\int _{a}^{b}k(t,s)f(s,x(s)){\mathrm {d}}s$

ist fréchet-differenzierbar. Seine Ableitung $F^{\prime }$ lautet

$(F^{\prime }(x)h)(t)=\int _{a}^{b}k(t,s){\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s))\,h(s){\mathrm {d}}s.$

Aufgrund des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung gilt nämlich

$f(s,x(s)+h(s))-f(s,x(s))={\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s)+\rho (s)h(s))\,h(s)$

mit $0<\rho (s)<1$ und wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von $\tfrac{\partial f}{\partial x}$ auf $J\times \{z\in \mathbb{R} :|z|\leq \sup |x|+1\}$ gilt

$\sup _{{s\in J}}\left|{\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s)+\rho (s)h(s))-{\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s))\right|\leq \epsilon$

für $\sup |h|\leq \delta$ . Für $\sup |h|\leq \delta$ gilt also

$\sup \left|F(x+h)-F(x)-\int _{a}^{b}k(\cdot ,s){\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s))h(s){\mathrm {d}}s\right|\leq \epsilon \,\sup |h|\,\max _{{(t,s)\in J\times J}}|k(t,s)|(b-a),$

was die Darstellung der Ableitung beweist.

Rechenregeln

Es lassen sich die üblichen Rechenregeln für die totale Ableitung im $\mathbb {R} ^{n}$ auch für die Fréchet-Ableitung zeigen. Folgende Gleichungen gelten, sofern sie im Sinne obiger Definition sinnvoll sind, insbesondere also die vorkommenden Abbildungen an den entsprechenden Stellen differenzierbar sind:

$(A+B)'(\varphi )=A'(\varphi )+B'(\varphi )$
$(\lambda A)'(\varphi )=\lambda A'(\varphi )$ .
Kettenregel: $(A\circ B)'(\varphi )=(A'\circ B)(\varphi )\,B'(\varphi )$ . Das Produkt $(A'\circ B)(\varphi )\,B'(\varphi )$ ist hierbei im Sinne der Multiplikation (Hintereinanderausführung) linearer Abbildungen zu verstehen.
Ist ein stetiger, linearer Operator, so ist A überall differenzierbar und es gilt $A'(\varphi )=A$ . Zusammen mit der Kettenregel ergibt sich daraus die Folgerung, dass man stetige, lineare Operatoren aus der Ableitung herausziehen darf: $(A\circ B)'(\varphi )=A\,B'(\varphi )$ und $(B\circ A)'(\varphi )=B'(A(\varphi ))\,A$ .
Produktregel: Ist $A:X_{1}\times \ldots \times X_{n}\to Y$ eine stetige, n-fach lineare Abbildung, so ist $A'(\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}):(h_{1},\ldots ,h_{n})\mapsto A(h_{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n})+\ldots +A(\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{{n-1}},h_{n})$

Zusammenhang zwischen Fréchet- und Gâteaux-Ableitung

Sei an der Stelle $\varphi$ Fréchet-differenzierbar, dann existiert für jede beliebige Richtung $h\in X$ das Gâteaux-Differential $\delta A(\varphi ,h)$ und es gilt:

$\delta A(\varphi ,h)=A'(\varphi )h$ .

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

Außerdem existiert dann die Gâteaux-Ableitung von an der Stelle $\varphi$ , die im Folgenden mit $A'_{s}(\varphi )$ bezeichnet wird, und es gilt:

$A'_{s}(\varphi )=A'(\varphi )$ .

Auch hier gilt die Umkehrung im Allgemeinen nicht. Unter folgenden Bedingungen gilt auch die Umkehrung:

Falls in einer Umgebung von $\varphi$ Gâteaux-differenzierbar ist, das heißt das Gâteaux-Differential in jedem Punkt der Umgebung stetig und linear ist, und die Abbildung

$A'_{s}(.)\colon U\to {\mathcal {L}}(X,Y)$ gegeben durch $\psi \mapsto A'_{s}(\psi )$

im Punkt $\varphi$ stetig ist bezüglich der Operatornorm auf ${\mathcal {L}}(X,Y)$ , so ist im Punkt $\varphi$ Fréchet-differenzierbar.

Diese Bedingung ist nicht notwendig. Etwa existieren schon im Eindimensionalen total differenzierbare Funktionen, die nicht stetig differenzierbar sind.

Anwendungsbeispiel

Die Fréchet-Ableitung kann z.B. zur Lösung sogenannter inverser Randwertprobleme im Rahmen eines Newton-Verfahrens verwendet werden. Als Beispiel für diese Anwendung betrachten wir ein inverses Randwertproblem zur Laplace-Gleichung:

Es sei $D\subset {\mathbb {R}}^{2}$ ein unbekanntes Gebiet. Wir betrachten das äußere Dirichlet-Problem, bei dem die Randwerte auf $\partial D$ durch eine Quelle im Punkt $z\in {\mathbb {R}}^{2}\setminus {\bar D}$ gegeben sind. Dann erfüllt die beschränkte und zweimal stetig differenzierbare Funktion in ${\mathbb {R}}^{2}\setminus {\bar D}$ die Laplace-Gleichung:

$\Delta u=0\quad {\mbox{in}}\,\,{\mathbb {R}}^{2}\setminus {\bar D}$

und die Dirichlet Randbedingung:

$u=-\Phi (\cdot ,z)\quad {\mbox{auf}}\,\,\partial D.$

Mit $\Phi$ bezeichnen wir die Fundamentallösung zur Laplace-Gleichung, die eine Punktquelle im Punkt beschreibt.

Beim inversen Randwertproblem gehen wir von einem zweiten (bekannten) Gebiet $B\subset {\mathbb {R}}^{2}$ aus, welches enthält. Auf dem Rand $\partial B$ von messen wir die Werte der Lösung des direkten Dirichlet-Problems. Wir kennen also die Spur $u|_{{\partial B}}$ . Unser Ziel ist nun den unbekannten Rand $\partial D$ von aus der Kenntnis dieser Spur zu rekonstruieren.

Dieses Problem lässt sich formal durch einen Operator beschreiben, der den unbekannten Rand $\partial D$ auf die bekannte Spur $u|_{{\partial B}}$ abbildet. Wir müssen also folgende nichtlineare Gleichung lösen:

$F(\partial D)=u|_{{\partial B}}$

Diese Gleichung kann z.B. mit Hilfe des Newton-Verfahrens linearisiert werden. Dazu schränken wir uns auf Gebiete ein, dessen Rand wie folgt dargestellt werden kann:

$\displaystyle x(t)=r(t)(\cos(t),\sin(t))$

Wir suchen nun also die unbekannte Radiusfunktion . Die linearisierte Gleichung (das Newton-Verfahren) sieht dann wie folgt aus:

$F(r)+F'(r,q)=u|_{{\partial B}}$

Hierbei bezeichnet $\displaystyle F'$ die Fréchet-Ableitung des Operators $\displaystyle F$ (die Existenz der Fréchet-Ableitung für $\displaystyle F$ kann gezeigt werden und $\displaystyle F'$ kann über ein direktes Randwertproblem bestimmt werden!). Diese Gleichung wird dann nach aufgelöst, wobei wir mit r+q eine neue Näherung an den unbekannten gesuchten Rand gefunden haben. Anschließend kann mit dieser Näherung das Verfahren iteriert werden.

Literatur

Rainer Kress: Linear Integral Equations. Second Edition. Springer 1998, ISBN 0-387-98700-2.
Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. Teubner, Stuttgart/Leipzig, ISBN 3-519-42232-8.
Henri Cartan: Differentialrechnung. Bibliographisches Institut AG, Zürich 1974, ISBN 3-411-01442-3.

Basierend auf einem Artikel in:

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