Satz von Euler (Primzahlen)

Einer der zahlreichen Lehrsätze von Leonhard Euler im mathematischen Teilgebiet der Analysis ist der Satz von Euler über die Summation der Kehrwerte der Primzahlen. Dieser besagt, dass die aus diesen Kehrwerten gebildete Reihe gegen unendlich divergiert. Der Beweis dieses Lehrsatzes beruht wesentlich auf dem Fundamentalsatz der Arithmetik und der Divergenz der harmonischen Reihe.

Formulierung des Satzes

Für die Folge $\left(p_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }=\left(2,3,5,7,11,\dotsc \right)$ aller Primzahlen gilt:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{p_{k}}}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+\dotsb =\infty$

Beweis

Ein möglicher Beweis, der nur elementare Ergebnisse der Analysis benutzt, ist der folgende:

Es gilt für die Eulersche Zahl

$e=\sup \left\{\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}\mid n=1,2,3,\dotsc \right\},$

sodass für jede Primzahl die Ungleichung

$1+{\tfrac {1}{p-1}}<e^{{{\tfrac {1}{p-1}}}}$

besteht. Folglich erhält man mittels Bruchrechnung und natürlichem Logarithmus:

$\ln \left({\frac {1}{1-{\tfrac {1}{p}}}}\right)=\ln \left(1+{\tfrac {1}{p-1}}\right)<{\tfrac {1}{p-1}}={\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{p(p-1)}}\leq 2\cdot {\tfrac {1}{p}}$

Nun sei eine beliebige natürliche Zahl und es sei ${\bigl (}p_{k}{\bigr )}_{k=1,2,\dotsc ,k(N)}$ die endliche Folge aller Primzahlen bis zur Zahl .

Es gilt dann:

$\ln \left(\prod _{{k=1}}^{{k(N)}}{\frac {1}{1-{\tfrac {1}{p_{k}}}}}\right)=\sum _{{k=1}}^{{k(N)}}\ln \left({\frac {1}{1-{\tfrac {1}{p_{k}}}}}\right)<2\cdot \sum _{{k=1}}^{{k(N)}}{\tfrac {1}{p_{k}}}$

In Verbindung mit dem bekannten Grenzwert

$\lim _{{x\to \infty }}\ln x=\infty$

genügt es daher zum Beweis der behaupteten Divergenz zu zeigen, dass

$\prod _{{k=1}}^{{k(N)}}{\frac {1}{1-{\tfrac {1}{p_{k}}}}}$

mit wachsendem ebenfalls über alle Grenzen wächst.

Letzteres ergibt sich, indem man zunächst die Eigenschaften der geometrischen Reihe einbezieht und dadurch die Identität

$\prod _{k=1}^{k(N)}{\frac {1}{1-{\tfrac {1}{p_{k}}}}}=\prod _{k=1}^{k(N)}{\left(1+{\tfrac {1}{p_{k}}}+{\tfrac {1}{{p_{k}}^{2}}}+{\tfrac {1}{{p_{k}}^{3}}}+\dotsb \right)}$

ableitet. Da in dem letzten Produkt innerhalb der Klammern auf der rechten Seite durchwegs absolut konvergente Reihen auftreten, ist es möglich, diese unter Beachtung des Distributivgesetzes auszumultiplizieren.

So erhält man wegen des Fundamentalsatzes der Arithmetik durch das Ausmultiplizieren der Klammern den Kehrwert jeder natürlichen Zahl der Form

$\prod _{{k=1}}^{{k(N)}}{p_{k}}^{{{\alpha }_{k}}}$

mit ${\alpha }_{k}\in \{0,1,2,3,\dotsc \}\,\left(k=1,2,\dotsc ,k(N)\right)$ genau einmal.

Damit hat man die folgende Identität:

$\prod _{k=1}^{k(N)}{\frac {1}{1-{\tfrac {1}{p_{k}}}}}=\sum _{n=1,2,3,4,\dotsc \atop {\text{Kein Primteiler von n ist größer als N.}}}{\tfrac {1}{n}}$

Dies impliziert jedoch die Ungleichung

$\prod _{{k=1}}^{{k(N)}}{\frac {1}{1-{\tfrac {1}{p_{k}}}}}>\sum _{{n=1}}^{N}{\tfrac {1}{n}}$

und da die harmonische Reihe divergiert, ist der Beweis erbracht.

Anmerkungen und Ergänzungen

Der Satz geht auf das Jahr 1737 zurück.

Aus dem Satz folgt unmittelbar, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Mit etwas mehr Analysis lässt sich sogar schärfer zeigen, dass für reelle Zahlen $x \geq 2$ stets die Ungleichung

$\sum _{{{\text{p ist Primzahl}} \atop {\text{und nicht größer als x.}}}}{{\tfrac {1}{p}}}\;\;>\;\;\ln(\ln(x))-{\tfrac {1}{2}}$

besteht.

Mit tieferen Methoden der analytischen Zahlentheorie lässt sich weiter zeigen, dass der Grenzwert

$\lim _{{x\to \infty }}{\bigl (}\;\sum _{{{\text{p ist Primzahl}} \atop {\text{und nicht größer als x.}}}}{{\tfrac {1}{p}}}\;-\;\ln(\ln(x))\;{\bigr )}$

existiert, gleich der Meissel-Mertens-Konstanten

$M=0{,}2614972128\dotso$ (OEIS,

A077761)

ist und dass dabei für reelle Zahlen x>1

stets die Ungleichung

$\sum _{{{\text{p ist Primzahl}} \atop {\text{und nicht größer als x.}}}}{{\tfrac {1}{p}}}\;\;>\;\;\ln(\ln(x))+M-{\tfrac {1}{2\;{\ln }^{2}(x)}}$

besteht.

In Verbindung mit der Tatsache, dass die Reihe der Kehrwerte der Quadratzahlen konvergiert und den Grenzwert

$\zeta (2)=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\tfrac 1{n^{2}}}={\tfrac {\pi ^{2}}{6}}$

hat, folgt aus dem Satz auch, „dass es in einem wohlbestimmten Sinne mehr Prim- als Quadratzahlen gibt.“ „Dennoch ist es ein offenes und anscheinend sehr schwieriges Problem, ob zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen immer eine Primzahl liegt.“

Potenziert man in der obigen Primzahlkehrwertreihe alle Primzahlen mit einem Exponenten $\sigma >1,$ so gewinnt man statt einer divergenten stets eine konvergente Reihe mit endlichem Grenzwert:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{{p_{k}}^{\sigma }}}={\tfrac {1}{2^{\sigma }}}+{\tfrac {1}{3^{\sigma }}}+{\tfrac {1}{5^{\sigma }}}+{\tfrac {1}{7^{\sigma }}}+\dotsb <\infty$

Leonhard Euler hat diese Reihenwerte in der Introductio für gerade ganzzahlige $\sigma =2,4,6,8,\dotsc ,36$ systematisch errechnet und bis auf 15 Nachkommastellen genau angegeben. So nennt er u.a. die folgenden Näherungswerte:

${\tfrac {1}{2^{2}}}+{\tfrac {1}{3^{2}}}+{\tfrac {1}{5^{2}}}+{\tfrac {1}{7^{2}}}+\dotsb \approx 0{,}452247420041222$ (OEIS,

A085548)

${\tfrac {1}{2^{4}}}+{\tfrac {1}{3^{4}}}+{\tfrac {1}{5^{4}}}+{\tfrac {1}{7^{4}}}+\dotsb \approx 0{,}076993139764252$

${\tfrac {1}{2^{6}}}+{\tfrac {1}{3^{6}}}+{\tfrac {1}{5^{6}}}+{\tfrac {1}{7^{6}}}+\dotsb \approx 0{,}017070086850639$

${\tfrac {1}{2^{8}}}+{\tfrac {1}{3^{8}}}+{\tfrac {1}{5^{8}}}+{\tfrac {1}{7^{8}}}+\dotsb \approx 0{,}004061405366515$

$\vdots$

${\tfrac {1}{2^{36}}}+{\tfrac {1}{3^{36}}}+{\tfrac {1}{5^{36}}}+{\tfrac {1}{7^{36}}}+\dotsb \approx 0{,}000000000014551$

Genauso ist nach dem Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen sicher, dass auch die Reihe der mit wechselnden Vorzeichen gewichteten Primzahlkehrwerte stets konvergiert. Hier ist:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{k}}{p_{k}}}=-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}\pm \dotsb =-0{,}2696063519\dotso$

Dem gegenüber steht das von Paul Erdős gestellte und – soweit heute bekannt – bislang ungelöste Problem, ob die alternierende Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{k}\cdot k}{p_{k}}}=-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {2}{3}}-{\tfrac {3}{5}}+{\tfrac {4}{7}}\pm \dotsb$

konvergiert oder divergiert. Allerdings ist nach Erdős bekannt, dass die verwandte Reihe

$\sum _{{k=2}}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{k}\cdot k\cdot \ln(k)}{p_{k}}}={\tfrac {2\cdot \ln(2)}{3}}-{\tfrac {3\cdot \ln(3)}{5}}+{\tfrac {4\cdot \ln(4)}{7}}-{\tfrac {5\cdot \ln(5)}{11}}\pm \cdots$

divergent ist.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de