Darstellungssatz von Fréchet-Riesz
Der Darstellungssatz von Fréchet-Riesz, manchmal auch Satz von Fréchet-Riesz oder Rieszscher Darstellungssatz beziehungsweise Darstellungssatz von Riesz (nach Frigyes Riesz) ist in der Mathematik eine Aussage der Funktionalanalysis, die den Dualraum bestimmter Banachräume charakterisiert. Da Riesz an mehreren solchen Sätzen beteiligt war, werden verschiedene Sätze als Rieszscher Darstellungssatz bezeichnet.
Motivation
In der Funktionalanalysis gewinnt man Informationen über die Struktur von Banachräumen aus dem Studium linearer, stetiger Funktionale. So erlaubt beispielsweise der Trennungssatz, mit ihrer Hilfe konvexe Mengen unter bestimmten Voraussetzungen voneinander zu trennen. Es ergibt sich damit als natürliche Aufgabe, den Raum aller solcher stetigen Funktionale – den Dualraum – näher zu studieren.
Dualräume von normierten
Vektorräumen – und damit auch von Banachräumen – sind stets selbst
Banachräume.
Das konstante Funktional
ist offenbar immer stetig und der Satz
von Hahn-Banach sichert die Existenz „vieler“ weiterer stetiger Funktionale.
Dieser Existenzsatz ist jedoch rein abstrakt und basiert auf nicht-konstruktiven
Methoden wie dem Lemma
von Zorn. Es liegt nun nahe, nach isometrischen
Isomorphismen zwischen einem bekannten Raum und dem zu untersuchenden
Dualraum zu suchen, um letzteren greifbar zu beschreiben.
In endlichdimensionalen Vektorräumen ist es leicht, Dualräume zu
charakterisieren: Man betrachte als Beispiel ein Funktional
aus dem Dualraum von
,
den man als
bezeichnet. Nach Ergebnissen der linearen
Algebra lässt es sich darstellen durch die Multiplikation
mit einem Zeilenvektor
von links:
und folglich mithilfe des Standardskalarprodukts auch als
Die Abbildung
ist bijektiv
und isometrisch. Mithilfe von
können wir also den Dualraum des
mit dem
selbst identifizieren.
Der Satz von Fréchet-Riesz verallgemeinert diese Erkenntnis auf
allgemeine Hilberträume,
während der Darstellungssatz
von Riesz-Markow den Dualraum von ,
dem Raum der stetigen Funktionen auf einem kompakten
Hausdorff-Raum
,
charakterisiert. Eine weitere bekannte, mit dem Namen Riesz verbundene
Dualitätsbeziehung ist die Identifizierung der Dualräume von
-Räumen
mit den Räumen
,
wobei
,
siehe Dualität
von
-Räumen.
Aussage
Sei
ein Hilbertraum. Dann existiert zu jedem stetigen Funktional
genau ein
,
sodass gilt:
Umgekehrt ist für gegebenes
die Abbildung
ein stetiges Funktional mit Operatornorm .
Beweis
Existenz: Sei
ein stetiges, lineares Funktional.
Ist ,
so wählt man
.
Ist ,
dann ist sein Kern
ein abgeschlossener
Unterraum von
.
Mit dem Projektionssatz
folgt, dass
.
Da außerdem
folgt
.
Wähle
mit
.
Dann ist
.
Für
folgt nun aufgrund der Linearität von
,
dass
.
Insbesondere stellt
einen Isomorphismus zwischen
und
dar. Nach dem Homomorphiesatz
ist
auch ein Isomorphismus zwischen
und
.
Aus diesem Grund folgt
.
Nun ist jedes
von der Form
mit
und
.
Daher ist
.
Setzt man nun
,
dann gilt
und daher
.
Wir folgern, dass
gilt.
Für die Eindeutigkeit sei angenommen, es gebe einen weiteren Vektor
mit
.
Dann gilt für jedes
,
dass
.
Setzt man
,
so folgt
also insbesondere, dass
.
Dualität von Lp-Räumen
Der Satz von Fréchet-Riesz kann, da jeder Hilbertraum zu einem -Raum
isomorph ist, als Satz über
-Räume
angesehen werden. Er lässt sich auf
-Räume
verallgemeinern. Dieser in Kurzform
lautende Satz wird oft als Satz von Riesz, seltener als Rieszscher
Darstellungssatz, zitiert.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 15.06. 2020