Das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt) ist derjenige Mittelwert, der als Quotient aus der Summe der beachteten Zahlen und ihrer Anzahl berechnet ist. Die zwei Zahlen 1 und 2 haben zum Beispiel den arithmetischen Mittelwert 1,5 (= (1 + 2) / 2).
In der Statistik wird das arithmetische Mittel einer Stichprobe auch empirischer Mittelwert genannt.
Das arithmetische Mittel einer Menge von
Werten
ist definiert als
Gelegentlich wird zur Bezeichnung des arithmetischen Mittels auch das Durchschnittszeichen ⌀ verwendet.
Das arithmetische Mittel aus 50 und 100 ist .
Ein Auto fährt eine Stunde lang 100 km/h und die darauf folgende Stunde 200 km/h. Mit welcher konstanten Geschwindigkeit muss ein anderes Auto fahren, um denselben Weg ebenfalls in zwei Stunden zurückzulegen?
Der Weg ,
den das erste Auto insgesamt zurückgelegt hat, beträgt
und der des zweiten Autos
wobei
die Geschwindigkeit des zweiten Autos ist. Aus
ergibt sich
und damit
Das arithmetische Mittel zweier Zahlen
ist diejenige Zahl
,
für die
gilt.
Die Schwerpunkteigenschaft besagt, dass die Summen der negativen und positiven Abweichungen der Merkmalswerte vom arithmetischen Mittel absolut gleich sind. Anders ausgedrückt besagt die Schwerpunkteigenschaft, dass die Summe der Abweichungen aller beobachteten Merkmalsausprägungen vom arithmetischen Mittel gleich Null ist.
Beweis:
Sind
Zufallsvariablen, die
unabhängig und identisch verteilt
mit Erwartungswert
und Varianz
sind, so hat der Stichprobenmittelwert
ebenfalls den Erwartungswert
,
aber die kleinere Varianz
.
Hat also eine Zufallsvariable endlichen Erwartungswert und endliche Varianz, so
folgt aus der Tschebyscheff-Ungleichung,
dass das arithmetische Mittel einer Stichprobe gegen den Erwartungswert der
Zufallsvariablen stochastisch
konvergiert. Das arithmetische Mittel ist daher nach vielen Kriterien eine
geeignete Schätzung für den Erwartungswert der Verteilung, aus der die
Stichprobe stammt. Es ist allerdings sehr empfindlich gegenüber Ausreißern
(siehe Median).
Es lässt sich auch ein gewichtetes arithmetisches Mittel definieren. Es erweitert den Anwendungsbereich des gewöhnlichen (ungewichteten) arithmetischen Mittels auf Werte mit unterschiedlicher Wichtigkeit. Ein Beispiel ist die Berechnung einer Schulnote, in die mündliche und schriftliche Leistungen unterschiedlich stark einfließen.
Das gewichtete Mittel wird beispielsweise verwendet, wenn man Mittelwerte
,
aus
Stichproben der gleichen
Grundgesamtheit mit
verschiedenen Stichprobenumfängen
miteinander kombinieren will:
Sind die
unabhängig verteilte Zufallsgrößen (d.h.
ist eine Zufallsgröße mit den Zufallsvariablen
und
ist eine Zufallsgröße mit den Zufallsvariablen
…) mit gemeinsamem Erwartungswert
aber unterschiedlichen Varianzen
,
so hat der gewichtete Mittelwert ebenfalls Erwartungswert
und seine Varianz beträgt
Wählt man
so vereinfacht sich die Varianz zu
Aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgt
Die Wahl der Gewichte
oder eine Wahl proportional dazu minimiert also die Varianz
des gewichteten Mittels. Mit dieser Formel lassen sich die Gewichte
abhängig von der Varianz des jeweiligen Wertes, der dementsprechend den
Mittelwert mehr oder weniger stark beeinflusst, zweckmäßig wählen.
Sind die
speziell Stichprobenmittelwerte vom Umfang
aus derselben Grundgesamtheit, so hat
die Varianz
,
also ist die Wahl
optimal.
Das arithmetische Mittel
der
Zahlen 1, 2 und 3 beträgt 2, das arithmetische Mittel
der
Zahlen 4 und 5 beträgt 4,5. Das arithmetische Mittel aller 5 Zahlen ergibt sich
als mit dem Stichprobenumfang gewichteter Mittelwert der Teilmittelwerte:
Liegen die Beobachtungen als klassierte Häufigkeit vor, kann man das arithmetische Mittel näherungsweise als gewichtetes Mittel bestimmen, wobei die Klassenmitten als Wert und der Klassenumfang als Gewicht zu wählen sind. Sind beispielsweise in einer Schulklasse ein Kind in der Gewichtsklasse 20 bis 25 kg, 7 Kinder in der Gewichtsklasse 25 bis 30 kg, 8 Kinder in der Gewichtsklasse 30 bis 35 kg und 4 Kinder in der Gewichtsklasse 35 bis 40 kg, so lässt sich das Durchschnittsgewicht als
abschätzen. Um die Güte dieser Schätzung zu ermitteln, muss man dann den minimal / maximal möglichen Mittelwert ermitteln, indem man pro Intervall die kleinsten / größten Werte zugrunde legt. Damit ergibt sich dann, dass der tatsächliche Mittelwert zwischen 28,75 kg und 33,75 kg liegt. Der Fehler der Schätzung 31,25 beträgt also maximal ±2,5 kg oder ±8 %.
Weiteres Beispiel: Ein Bauer stellt im Nebenerwerb 100 kg Butter her. 10 kg kann er für 10 €/kg verkaufen, weitere 10 kg für 6 €/kg und den Rest muss er für 3 €/kg abgeben. Zu welchem (gewichtetem) Durchschnittspreis hat er seine Butter verkauft? Lösung: (10 kg · 10 €/kg + 10 kg · 6 €/kg + 80 kg · 3 €/kg) / (10 kg + 10 kg + 80 kg) = 400 € / 100 kg = 4 €/kg. Der mit der jeweils verkauften Menge gewichtete Durchschnittspreis entspricht also dem fixen Preis, zu dem die Gesamtmenge verkauft werden müsste, um den gleichen Erlös zu erzielen wie beim Verkauf von Teilmengen zu wechselnden Preisen.
Als Mittelwert der Riemann-integrierbaren
Funktion
wird die Zahl
definiert.
Die Bezeichnung Mittelwert ist insofern gerechtfertigt, als für eine
äquidistante Zerlegung
des Intervalls mit der Schrittweite
das arithmetische Mittel
gegen
konvergiert.
Ist
stetig,
so besagt der Mittelwertsatz
der Integralrechnung, dass es ein
gibt mit
,
die Funktion nimmt also an mindestens einer Stelle ihren Mittelwert an.
Der Mittelwert der Funktion
mit dem Gewicht
(wobei
für alle
)
ist
Für Lebesgue-Integrale
im Maßraum
mit einem endlichen Maß
lässt sich der Mittelwert einer Lebesgue-integrierbaren Funktion als
definieren. Handelt es sich um einen Wahrscheinlichkeitsraum,
gilt also ,
so nimmt der Mittelwert die Form
an; das entspricht genau dem Erwartungswert
von .
Der Mittelwert einer Funktion hat in Physik und Technik erhebliche Bedeutung insbesondere bei periodischen Funktionen der Zeit, siehe Gleichwert.
Sei
eine auf einem reellen Intervall
streng
monotone stetige
(und daher invertierbare) Funktion
und seien
Gewichtsfaktoren. Dann ist für
das mit den Gewichten
gewichtete quasi-arithmetische Mittel definiert als
Offensichtlich gilt
Für
erhält man das arithmetische, für
das geometrische
Mittel, und für
das
-Potenzmittel.
Dieser Mittelwert lässt sich auf das gewichtete quasi-arithmetische Mittel
einer Funktion
verallgemeinern, wobei
in einem die Bildmenge
von
umfassenden Intervall streng monoton und stetig sei: