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Konvergenzbereich

Ein Konvergenzbereich ist in der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, einer Funktionenfolge oder (häufiger) Funktionenreihe zugeordnet und bezeichnet eine (oft auch die im Sinne der Inklusion maximale) Menge von Punkten im Definitionsbereich, in denen die Funktionenreihe punktweise konvergiert. Konvergenzgebiete sind Gebiete, also offene, zusammenhängende Teilmengen von Konvergenzbereichen. Die Begriffe Konvergenzbereich und -gebiet verallgemeinern die Begriffe „Konvergenzintervall“ bzw. „Konvergenzkreisscheibe“ aus der elementaren, reellen Analysis und der elementaren Funktionentheorie. Konvergenzkriterien für Funktionenfolgen und -reihen werden aus historischen Gründen gelegentlich als (verallgemeinerte) Cauchy-Hadamard-Formeln bezeichnet. Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard formuliert solche Kriterien für komplexe Potenzreihen.

Häufig gebrauchte Funktionenreihen

Die im Folgenden betrachteten Reihen sind immer als komplexe Reihen zu verstehen, das heißt ihre Koeffizienten sind komplex, die unabhängige Variable ist komplex, die Glieder der Reihen sind auf einer Teilmenge von \mathbb {C} definierte Funktionen und ihre Konvergenzgebiete und -bereiche sind Teilmengen von \mathbb {C} . Die Reihen selbst stellen natürlich nur dann Funktionen dar, wenn ihr maximaler Konvergenzbereich nicht leer ist.

Sofern überhaupt ein Konvergenzgebiet existiert, gilt in all diesen drei Fällen:

Verallgemeinerung für metrische Räume

Sei (M,d) ein metrischer Raum und (E,\|\cdot \|) ein Banachraum. Es sei eine Folge von stetigen Funktionen f_{n}\colon M\to E gegeben. Dann

Jede Menge von Punkten x\in M, in denen Konvergenz vorliegt, wird Konvergenzbereich genannt. Jede Zusammenhangskomponente des Inneren der Menge aller Punkte, in denen die Folge konvergiert, ein maximales Konvergenzgebiet.

Bemerkung: In Randpunkten eines Konvergenzgebietes oder eines Konvergenzbereiches muss keine absolute Konvergenz vorliegen, die entsprechende Reihe kann im Wertebereich sogar divergent sein.

Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard

Die folgenden Aussagen über die Konvergenzbereiche von komplexen Potenzreihen wurden (im Wesentlichen) zunächst von Augustin Louis Cauchy 1821 formuliert, aber allgemein kaum zur Kenntnis genommen, bis sie von Jacques Hadamard wiederentdeckt wurden. Dieser veröffentlichte sie 1888. Daher werden sie (und einige moderne Verallgemeinerungen) als Formel oder auch Satz von Cauchy-Hadamard bezeichnet. Modern, aber noch ohne Verallgemeinerungen auf andere als Potenzreihen formuliert, besagt der Satz von Cauchy-Hadamard:

Sei M={\mathbb  C}, E={\mathbb  C} und f_{n}(x)=c_{n}\cdot x^{n} mit c_{n}\in {\mathbb  C} für jedes n\in \mathbb {N} , d.h. die Funktionenreihe \textstyle \sum _{{n=0}}^{\infty }f_{n}(x)=\sum _{{n=0}}^{\infty }c_{n}x^{n} sei eine komplexe Potenzreihe. Dann gilt:

  1. Die offene Kreisscheibe B(0,r) um den Nullpunkt mit Radius r>0 gehört zum maximalen Konvergenzbereich, falls \left|c_{n}\right|\cdot r^{n}<1 für alle bis auf endlich viele n\in \mathbb {N} erfüllt ist.
  2. Das Komplement der abgeschlossenen Kreisscheibe B(0,R) schneidet den maximalen Konvergenzbereich nicht, wenn \left|c_{n}\right|\cdot R^{n}>1 für unendlich viele n\in \mathbb {N} gilt.
  3. Es gibt einen Radius, bei dem sich die beiden vorgenannten Aussagen „treffen“. Als Konvergenzradius wird \textstyle \rho =(\limsup _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{|c_{n}|}})^{{-1}} bezeichnet, falls der limes superior als reelle Zahl, also im eigentlichen Sinn existiert und nicht 0 ist. Ist der limes superior 0, dann ist der Konvergenzradius \rho =+\infty , ist der limes superior +\infty , dann ist der Konvergenzradius \rho =0. Der maximale Konvergenzbereich der Potenzreihe enthält die offene Kreisscheibe um 0 mit Radius \rho . Im Falle \rho =0 ist dies die leere Menge, sonst das maximale Konvergenzgebiet.
  4. Die Potenzreihe konvergiert in allen Punkten, deren Abstand zur Null kleiner als der Konvergenzradius \rho ist. Außerdem divergiert sie in allen Punkten, deren Abstand größer \rho ist. Über die Konvergenz in Punkten, deren Abstand zum Nullpunkt genau \rho ist (d.h. die Kreislinie mit diesem Radius), kann keine allgemeine Aussage gemacht werden.

Die letzte Aussage gilt sinngemäß ebenso für die Randpunkte der maximalen Konvergenzbereiche von Laurent- und Dirichletreihen. Auch deren maximales Konvergenzgebiet kann durch geeignete limites superiores berechnet werden.

Majoranten- und Minorantenkriterium

Hauptartikel: Weierstraßsches Majorantenkriterium

Die folgenden Konvergenzkriterien wurden ursprünglich für Potenzreihen formuliert und auf ihnen beruht die klassische Form des Satzes von Cauchy-Hadamard. Sie gelten in der hier gegebenen Formulierung jedoch auch allgemeiner unter den oben im Abschnitt Verallgemeinerung für metrische Räume formulierten Bedingungen.

  1. (Majorante) Gibt es eine konvergente Reihe \textstyle \sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n} mit positiven reellen Gliedern und ein Gebiet G\subseteq M mit \|f_{n}(x)\|\leq a_{n} für alle x\in G und alle bis auf endlich viele n\in \mathbb {N} , so ist G Teilmenge eines maximalen Konvergenzgebietes. Die Konvergenz ist auf G absolut, gleichmäßig und kompakt, damit ist die durch die Reihe auf G definierte Grenzfunktion F auf G stetig, falls dies für alle bis auf endlich viele Partialsummen gilt.
  2. (Minorante) Ist \textstyle \sum _{{n=0}}^{\infty }b_{n} eine divergente Reihe mit positiven reellen Gliedern und gilt auf einem Gebiet H\subseteq M die Ungleichung \|f_{n}(x)\|>b_{n} für alle x \in H und für alle bis auf endlich viele n\in \mathbb {N} , so ist H im Komplement des maximalen Konvergenzbereiches als Teilmenge enthalten.
  3. (Limitierung) Ist das Majorantenkriterium auf einem Gebiet G erfüllt und sind alle Partialsummen der Funktionenreihe stetig auf G und ist das Majorantenkriterium auch noch für einen Randpunkt x_{0}\in \partial G (gegebenenfalls nach stetiger Fortsetzung der auf G stetigen Partialsummen) erfüllt, dann konvergiert die Funktionenreihe auch in \!\,\lbrace x_{0}\rbrace \cup G gleichmäßig und die Grenzfunktion F ist stetig bzw. stetig fortsetzbar auf \lbrace x_{0}\rbrace \cup G und für die Grenzfunktion bzw. ihre Fortsetzung gilt
F(x_{0})=\lim _{{N\to \infty }}\lim _{{x\to x_{0} \atop x\in G}}\sum _{{n=0}}^{N}f_{n}(x)=\lim _{{x\to x_{0} \atop x\in G}}\lim _{{N\to \infty }}\sum _{{n=0}}^{N}f_{n}(x)

Beispiele

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 25.12. 2020