Maxwellscher Spannungstensor

Der Maxwellsche Spannungstensor T (benannt nach James Clerk Maxwell) ist ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe, der in der klassischen Elektrodynamik verwendet wird, um die Wechselwirkung zwischen elektromagnetischen Kräften und mechanischem Impuls darzustellen.

In einfachen Situationen, beispielsweise eine elektrische Punktladung, die sich in einem homogenen Magnetfeld frei bewegt, lassen sich die Kräfte auf die Ladung durch die Lorentzkraft berechnen. Für komplexere Probleme wird das Verfahren über die Lorentzkraft sehr lang. Es ist daher zweckmäßig, verschiedene Größen der Elektrodynamik im Maxwellschen Spannungstensor zu sammeln.

In der relativistischen Formulierung des Elektromagnetismus erscheint der Maxwell-Tensor als Teil des elektromagnetischen Energie-Impuls-Tensors.

Definition

Im Vakuum ist der Maxwellsche Spannungstensor in SI-Einheiten definiert durch

{\displaystyle T_{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {B_{i}B_{j}}{\mu _{0}}}-{\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {B^{2}}{\mu _{0}}}\right)\delta _{ij}},

wobei

In gaußschen cgs-Einheiten ergibt sich der Tensor zu

{\displaystyle T_{ij}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\left(E^{2}+H^{2}\right)\delta _{ij}\right)}

mit den Komponenten H_{i} der magnetischen Feldstärke.

Für elektromagnetische Wellen in einem linearen Medium lässt sich der Maxwellsche Spannungstensor definieren als:

{\displaystyle T_{ij}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}D_{j}+H_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left({\vec {E}}\cdot {\vec {D}}+{\vec {H}}\cdot {\vec {B}}\right)\delta _{ij}\right)}

Diese Definition ist für anisotrope Medien jedoch nicht mehr symmetrisch.

Magnetostatik

Für rein magnetische Felder (z.B. näherungsweise in Motoren) fallen einige Terme weg, wodurch sich der Maxwell-Tensor vereinfacht zu:

{\displaystyle T_{ij}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{ij}}

Für zylinderförmige Objekte – z.B. die Rotoren eines Motors – ergibt sich

{\displaystyle T_{rt}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{r}B_{t}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{rt}}

Dabei ist

Elektrostatik

In der Elektrostatik, für die das Magnetfeld verschwindet ({\displaystyle {\vec {B}}={\vec {0}}}), ergibt sich der elektrostatische Maxwellsche Spannungstensor. In Komponentenschreibweise ergibt sich dieser durch:

{\displaystyle T_{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}\delta _{ij}}

und in symbolischer Schreibweise durch

{\displaystyle {\boldsymbol {T}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}\otimes {\vec {E}}-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}({\vec {E}}\cdot {\vec {E}})\mathbf {I} }

wobei \mathbf {I} der Identitätstensor sei.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 03.09. 2022