Multiskalenanalyse
Die Multiskalenanalyse (MRA, englisch:
multiresolution analysis) oder -approximation
(MSA, englisch: multiscale approximation) des
Funktionenraums
ist eine funktionalanalytische
Grundkonstruktion der Wavelet-Theorie,
welche die Approximationseigenschaften der diskreten Wavelet-Transformation
beschreibt. Insbesondere erklärt sie die Möglichkeit und Funktionsweise des
Algorithmus der schnellen
Wavelet-Transformation.
Definition
Eine Multiskalenanalyse des Raums L²(R) besteht aus einer Folge geschachtelter Unterräume
,
welche sowohl Selbstähnlichkeitbedingungen in Zeit/Raum und Skala/Frequenz als auch Vollständigkeits- und Regularitätsbedingungen erfüllt.
- Selbstähnlichkeit in der Zeit verlangt, dass jeder Unterraum
invariant ist unter Verschiebungen um ganzzahlige Vielfache von
. Dies heißt, für jede Funktion
gibt es eine Funktion
mit
.
- Selbstähnlichkeit zwischen verschiedenen Skalen verlangt,
dass alle Unterräume
zeitskalierte Kopien voneinander sind, wobei der Skalierungs- bzw. Streckungsfaktor
beträgt. Dies heißt, für jede Funktion
gibt es eine Funktion
mit
. Hat beispielsweise
einen beschränkten Träger, so ist der Träger von
um den Faktor
zusammengestaucht. Mit anderen Worten, die Auflösung (im Sinne von Punkten auf einem Bildschirm) des l-ten Unterraums ist höher als die Auflösung des k-ten Unterraums.
- Regularität verlangt, dass der Modell-Unterraum
die lineare Hülle (algebraisch oder gar topologisch abgeschlossen) der ganzzahligen Verschiebungen einer oder endlich vieler erzeugender Funktionen
oder
ist. Diese ganzzahligen Verschiebungen sollten zumindest eine Riesz-Basis, besser aber eine Hilbert-Basis des Unterraums
bilden, woraus ein schneller Abfall im Unendlichen der erzeugenden Funktionen folgt. Letzteres ist für Funktionen mit kompaktem Träger trivialerweise erfüllt. Die erzeugenden Funktionen werden Skalierungsfunktionen oder Vaterwavelets genannt. Oft werden sie als (stückweise) stetige Funktionen mit kompaktem Träger konstruiert.
- Vollständigkeit verlangt, dass diese geschachtelten Unterräume den
gesamten Raum ausfüllen, das heißt, ihre Vereinigung
soll dicht in
sein; weiterhin, dass sie nicht redundant sind, das heißt, ihr Durchschnitt
darf nur das Nullelement enthalten.
Skalierungsfunktion
Im praktisch wichtigsten Falle, dass es nur eine Skalierungsfunktion
mit kompaktem Träger in der MRA gibt und diese eine Hilbert-Basis im Unterraum
erzeugt,
erfüllt diese eine Zwei-Skalen-Gleichung (in der engl. Literatur: refinement
equation)
.
Die dort auftretende Zahlenfolge
heißt Skalierungsfolge oder -maske und muss ein diskreter Tiefpassfilter sein, was in
diesem Falle bedeutet, dass
und
erfüllt ist, bzw. dass die Fourierreihe
im Nullpunkt den Wert 1 und an der Stelle eine
Nullstelle hat,
.
Es ist eine Grundaufgabe des Wavelet-Designs, Bedingungen an
festzustellen, unter denen gewünschte Eigenschaften von
,
wie Stetigkeit,
Differenzierbarkeit
etc. folgen. Soll
orthogonal, d.h. senkrecht zu allen ganzzahligen Verschiebungen von sich
selbst sein, so muss
und
für
gelten, mittels der Fourierreihe lautet die Bedingung
.
Üblicherweise werden diese Folgen als Koeffizientenfolgen eines
Laurent-Polynoms
angegeben, das heißt
.
Die Normierung schreibt sich damit als
,
die Tiefpasseigenschaft als
oder
für ein
,
die Orthogonalitätsbedingung als
.
Beispiele
- Das Haar-Wavelet
hat eine Skalierungsmaske
- Das Wavelet mit Ordnung
der Daubechies-Familie hat die Skalierungsmaske
Geschachtelte Unterräume
Sei
eine orthogonale Skalierungsfunktion. Dann kann ein affines Funktionensystem
und eine Folge von Skalierungsunterräumen
definiert werden. Damit gilt dann
und
ist eine orthonormale Basis von
.
Mit einem beliebigen ungeradem
kann nun die Wavelet-Folge
definiert werden, wobei
.
Damit definiert sich das Wavelet als
und die Waveletunterräume als .
Mit diesen ergibt sich eine als Fischgräte bekannte orthogonale Zerlegung der
Skalierungsräume
und allgemein
bei
.
Die grundlegende analytische Forderung an eine MRA ist, dass die
Wavelet-Unterräume den
voll ausschöpfen, das heißt
soll ein dichter Unterraum von
sein.
Literatur
- Alfred Louis, Peter Maaß, Andreas Rieder: Wavelets: Theorie und Anwendungen. 2. Auflage. Teubner, 1998, ISBN 3-519-12094-1.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 19.02. 2020