Bernoullische Annahmen

Die bernoullischen Annahmen sind Vereinfachungen der Balkentheorie, die sich als Teilgebiet der Technischen Mechanik mit dem Verhalten belasteter Balken beschäftigt. Sie sind benannt nach Jakob I. Bernoulli, von dem sie aufgestellt und dann in die Theorie übertragen wurden.

Inhalt der Annahmen

Der Balken ist schlank: seine Länge ist wesentlich größer als seine Querschnittsabmessungen.
- Daraus folgt, dass man von Schubstarrheit $G\cdot {\tilde {A}}=\infty$ ausgehen kann
Balkenquerschnitte, die vor der Deformation senkrecht auf der Balkenachse standen, stehen auch nach der Deformation senkrecht auf der deformierten Balkenachse.
- Aus Winkelerhalt folgt dass Schubstarrheit $G\cdot {\tilde {A}}=\infty$ gefordert wird
Querschnitte bleiben auch nach der Deformation in sich eben.
- Unter Berücksichtigung von Gleichgewicht folgt dass Schubstarrheit $G\cdot {\tilde {A}}=\infty$ gefordert wird

Anwendung

→ Hauptartikel: Balkentheorie

In der schubstarren Balkentheorie 1.Ordnung gibt es unter den Bernoullischen Annahmen folgende Differentialgleichungen für die Queranteile:

${\frac {\mathrm {d} V(x)}{\mathrm {d} x}}=-q(x)$

${\frac {\mathrm {d} M(x)}{\mathrm {d} x}}=V(x)+m(x)$

${\frac {\mathrm {d} \varphi (x)}{\mathrm {d} x}}=-\left[{\frac {M(x)}{E\cdot I(x)}}+\kappa ^{e}(x)\right]$

${\frac {\mathrm {d} w(x)}{\mathrm {d} x}}=\varphi (x)$

mit

der Laufkoordinate x entlang der Balkenachse
dem Elastizitätsmodul E
dem Flächenträgheitsmoment I(x)
V(x) der Querkraft
q(x) der Gleichlast (Querbelastung pro Längeneinheit)
M(x) dem Biegemoment

m(x) dem Steckemoment (Biegebelastung pro Längeneinheit)
φ(x) der Verdrehung
κ^e(x) der eingeprägten Krümmung
w(x) der Durchbiegung.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de