Quadrupol

Aufbau eines elektrischen Quadrupols für den Spezialfall einer quadratischen Anordnung.
Die Ladung der roten Punkte beträgt +Q, die der blauen Punkte −Q.

Potential eines elektrischen Quadrupols

Ein Quadrupol entsteht aus der nebenstehend dargestellten Anordnung zweier entgegengesetzt-gleicher Dipole mit beliebigem Abstandsvektor, typischerweise ${\vec {a}}$ genannt.

Allgemein kann einer beliebigen Ladungs- oder Stromverteilung, sofern sie nicht bestimmte Symmetrien besitzt, in zweiter Ordnung ein Multipolmoment zugeordnet werden. Dazu wird das eigentliche Potential durch eine Taylorentwicklung genähert. Dabei ergibt sich in dieser Multipolentwicklung u.a. auch ein Quadrupolmoment.

Elektrischer Quadrupol

Ein elektrischer Quadrupol kann aus zwei positiven und zwei gleich starken negativen Ladungen bestehen, die zwei entgegengesetzt-gleiche Dipole bilden. Im einfachsten Fall befinden sich die vier Ladungen in alternierender Anordnung an den Ecken eines Parallelogramms (in der Regel sogar eines Quadrates). Mathematisch präzise wird die Definition durch einen als „Quadrupol-Limes“ bezeichneten Grenzwertprozess, bei dem der Flächeninhalt des Parallelogramms gegen Null konvergiert, während gleichzeitig die Ladungsstärke der an den Ecken des Parallelogramms befindlichen Ladungen divergiert, und zwar so, dass das Produkt konstant bleibt, etwa $\{\lim _{{a\to 0;\,a^{2}Q={\text{konst.}}}}\dots \}\,,$ wobei die Konstante positiv sein soll.

Das Quadrupolpotential $\phi _{\text{Q}}$ ergibt sich als Überlagerung (Superposition) der Dipolpotentiale $\phi _{\text{D}}$ :

${\begin{aligned}\phi _{\text{Q}}({\vec {r}})&=\phi _{\text{D}}\left({\vec {r}}+{\dfrac {\vec {a}}{2}}\right)-\phi _{\text{D}}\left({\vec {r}}-{\dfrac {\vec {a}}{2}}\right)\\\ &={\vec {a}}\cdot {\vec {\nabla }}\phi _{\text{D}}({\vec {r}})+{\mathcal {O}}(|{\vec {a}}|^{3})\end{aligned}}$

Beim Übergang zur letzten Gleichung wurden die Taylorentwicklung benutzt und Terme der Größenordnung $|{\vec a}|^{3}$ vernachlässigt.

Aus der Multipolentwicklung erhält man mit dem Kronecker-Delta $\delta$ den Quadrupolmomenttensor mit SI-Einheit C·m²:

$Q_{kl} = \sum_{i=1}^{n} q_i(3r_{ik} \, r_{il} - (r_i)^2 \, \delta_{kl})$

bzw. für kontinuierliche Ladungsverteilungen:

$Q_{{kl}}=\int \rho ({\vec {r}}\,')\cdot (3r'_{k}\,r'_{l}-(r')^{2}\,\delta _{{kl}})\cdot d^{3}r'$

Alternativ lässt sich das Potential auch darstellen als:

${\begin{aligned}\phi _{\text{Q}}({\vec {r}})&={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {{\vec {r}}^{T}\cdot Q\cdot {\vec {r}}}{r^{5}}}\\&={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {r_{i}\cdot Q_{ij}\cdot r_{j}}{r^{5}}}\end{aligned}}$

wobei

die einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde und
$\varepsilon _{0}$ die elektrische Feldkonstante ist.

Anwendungen

Aufgrund des Feldes senkrecht zur Achsenrichtung wird jede Anordnung von vier abwechselnd gepolten Elektroden meist verkürzt als „Quadrupol“ bezeichnet, auch wenn sie kein reines Quadrupolfeld erzeugt. Im Wechselstrombetrieb werden durch diese Anordnung nur Teilchen mit einem bestimmten Verhältnis von Masse zu Ladung durchgelassen, weshalb die Anordnung in Massenspektrometern angewendet wird.

Eine weitere Anwendung eines elektrischen Quadrupols ist der Hochfrequenz-Quadrupol-Beschleuniger.

Magnetischer Quadrupol

Ein magnetischer Quadrupol besteht im einfachsten Fall aus zwei entgegengesetzt gerichteten magnetischen Dipolen im Abstand ${\vec {a}}$ .

Anwendungen:

Quadrupolmagnet: Fokussierungsmagnet in Teilchenbeschleunigern und Teilchen-Strahlführungen
selektive Trennung in Massenspektrometrie-Systemen
zusammen mit der Kernspinresonanzspektroskopie: Aussagen über die lokale Geometrie des Atomkerns in Festkörpern.

Ein sphärisches magnetisches Quadrupolfeld lässt sich zum Beispiel mit einer Maxwell-Spule erzeugen.

Gravitation

Illustration des gravitativen Quadrupolmoments: eine zu einem Ellipsoid deformierte homogene sphärische Massenverteilung besitzt neben dem Monopol- ein Quadrupolmoment.

Im Gegensatz zum Elektromagnetismus besitzt die Gravitation nur positive Ladungen (Massen). Daher ist die Definition eines gravitativen Quadrupols wie oben über zwei Dipole nicht möglich. Dennoch besitzen Massenverteilungen ein Quadrupolmoment mit SI-Einheit kg·m². Beispielsweise besitzt die Erde ein Quadrupolmoment, da sie keine perfekte Kugel ist. Die Abplattung der Erde führt dazu, dass im Vergleich zu einer exakt sphärischen Massenverteilung (reiner Monopol) an den Polen Masse „fehlt“ und am Äquator ein „Überschuss“ vorliegt („Äquatorwulst“). Das daraus resultierende Quadrupolmoment ist in einigen himmelmechanischen Phänomenen, wie der Präzession der Erdachse und der dynamischen Entwicklung der Bahnelemente von Satelliten, zur Erklärung notwendig.

Gravitationswellen

→ Hauptartikel: Gravitationswellen

In der Theorie der Gravitationswellen ist der Quadrupol von fundamentaler Bedeutung. Da es keine gravitativen Dipole gibt, ist die niedrigste Ordnung von Gravitationswellen eine Quadrupolstrahlung, die in der Form der Ausbreitung der elektromagnetischen Quadrupolstrahlung entspricht.

Höhere Multipole

Analog können höhere Multipole behandelt werden, sog. Oktupole beispielsweise durch alternierende Punktladungen auf den acht Ecken eines Parallelepipeds, z.B. eines Würfels der Kantenlänge a, mit dem „Oktupol-Limes“ $\{\lim _{{a\to 0;\,a^{3}Q={\text{konst.}}}}\dots \}$ (oder allgemeiner: ein einziger 2^l-Pol wird angenähert durch Überlagerung zweier verschobener 2^(l−1)-Pole mit entgegengesetztem Vorzeichen).

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de