Einsteinkoeffizienten

Dargestellt sind die beiden Energieniveaus $E_{1}$ und $E_{2}$ , die spontane Emission (A) sowie die Absorption (B₁₂) und die induzierte Emission (B₂₁)

In Einsteins Ratenbild werden die Einsteinkoeffizienten B₁₂, B₂₁ und A₂₁ zur Berechnung der spontanen und stimulierten (induzierten) Emission und der Absorption verwendet. Sie werden neben der statistischen Physik u.a. in der Spektroskopie und in der Laserphysik angewendet und wurden 1916 von Albert Einstein eingeführt. B₁₂ und B₂₁ haben die Einheiten m/kg und A₂₁ hat die Einheit 1/s.

Einstein unterscheidet im Strahlungsgleichgewicht drei Prozesse:

durch Absorption eines Photons aus einem elektromagnetischen Feld entsteht ein angeregter Zustand z.B. eines Atoms.
eine n-fach besetzte Mode eines elektromagnetischen Feldes stimuliert die Emission eines weiteren Photons in diese Mode, wobei das Atom vom angeregten in den Grundzustand übergeht. Gleiche Mode bedeutet gleiche Richtung, Frequenz und Phase.
Das Atom emittiert spontan – also ohne äußere Einwirkung – ein Photon in eine unbesetzte Mode (im freien Raum heißt das insbesondere: in eine beliebige Richtung).

Im Folgenden bezeichnen wir den Grundzustand als Zustand 1 und den angeregten Zustand als Zustand 2. Die Wahrscheinlichkeit der drei Prozesse hängt offensichtlich von der Anzahl $N_{i}$ der Atome im ausgehenden Zustand ab. Daneben hängen die stimulierten Prozesse von der Besetzung der Moden des elektromagnetischen Feldes ab (spektrale Energiedichte nach Frequenz ). Einstein führte die Koeffizienten B₁₂, B₂₁ und A₂₁ als zunächst unbestimmte Proportionalitätskonstanten ein, sodass

die Wahrscheinlichkeit der Absorption durch $B_{12} \cdot N_1 \cdot u$
die Wahrscheinlichkeit der stimulierten Emission durch $B_{21}\cdot N_2 \cdot u$ und
die Wahrscheinlichkeit der spontanen Emission durch $A_{21}\cdot N_2$

gegeben ist.

Die Zunahme der Teilchenanzahl im Grundzustand und die Abnahme der Teilchenzahl im angeregten Zustand ist dann gegeben durch:

$\frac{dN_1}{dt} = - \frac{dN_2}{dt} = - N_1 \cdot B_{12} \cdot u + N_2 \cdot B_{21} \cdot u + N_2 \cdot A_{21}$

Im thermodynamischen Gleichgewicht ist diese Summe null:

${\frac {dN_{1}}{dt}}={\frac {dN_{2}}{dt}}=0\Rightarrow {\frac {N_{2}}{N_{1}}}={\frac {B_{12}\cdot u}{A_{21}+B_{21}\cdot u}}$

Aus der Boltzmann-Verteilung weiß man, dass die Besetzung der Zustände mit ihren Energien wie folgt zusammenhängen:

${\frac {N_{2}}{N_{1}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}\cdot {\frac {e^{-E_{2}/(k_{\mathrm {B} }\cdot T)}}{e^{-E_{1}/(k_{\mathrm {B} }\cdot T)}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}\cdot e^{-\Delta E/(k_{\mathrm {B} }\cdot T)}\,,$

wobei die $g_{i}$ die Gewichte der Entartung darstellen.

Gleichsetzen und Auflösen nach der spektralen Energiedichte der Strahlung liefert:

$u={\frac {A_{21}}{B_{21}}}\cdot {\frac {1}{{\frac {B_{12}}{B_{21}}}{\frac {g_{1}}{g_{2}}}\cdot e^{\Delta E/(k_{\mathrm {B} }\cdot T)}-1}}$

Durch Koeffizientenvergleich mit dem Planckschen Strahlungsgesetz oder dem Rayleigh-Jeans-Gesetz – bei letzterer unter Verwendung der Grenzbedingungen und einer Reihenentwicklung der Exponentialfunktion – erhält man folgende Beziehungen zwischen den drei Einsteinkoeffizienten:

$g_{1}\cdot B_{12}=g_{2}\cdot B_{21}$

$B_{21}=A_{21}\cdot {\frac {\lambda ^{3}}{8\pi h}}$

mit

der Wellenlänge $\lambda$
dem Planckschen Wirkungsquantum .

Sind die Zustände nicht entartet, also g_1 = g_2 = 1 , so ist $B_{12} = B_{21} =: B$ .

Die Lebensdauer des angeregten Zustands, also die durchschnittliche Dauer, bis ein Atom ohne äußere Einwirkung durch spontanen Zerfall in den Grundzustand übergeht, beträgt

$\tau = \frac{1}{A_{21}}.$

Der Einsteinkoeffizient A₂₁ ist eine stoffspezifische Eigenschaft des Übergangs und kann quantenmechanisch mit Hilfe des Übergangsdipolmoment ${\vec {M}}_{ik}$ bestimmt werden.

Die Einsteinkoeffizienten hängen nicht von der Temperatur ab. Die Temperaturabhängigkeit der Energieverteilung der Wärmestrahlung ist stattdessen eine Folge der Temperaturabhängigkeit der Besetzungswahrscheinlichkeiten N₁ und N₂, die in der Regel durch die Boltzmann-Verteilung beschrieben wird.

Siehe auch

Besetzungsinversion

Literatur

A. Einstein: Zur Quantentheorie der Strahlung. Physikalische Zeitschrift 18 (1917) 121–128; Zuerst abgedruckt in den Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich 18 (1916)
Ausführliche Herleitung: H. Haken/H.C. Wolf: Atom- und Quantenphysik, 8. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2004, ISBN 3540026215, ISBN 3-11-010979-4.

Basierend auf einem Artikel in:

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