Niels Henrik Abel

norwegischer Mathematiker

geboren: 5. August 1802 auf der Insel Finnøy, Ryfylke
gestorben: 6. April 1829 in Froland, Aust-Agder

Ab 1804 wuchs er mit fünf Geschwistern in Gjerstad auf. Ab 1817 besuchte er die Kathedralschule von Christiania (Oslo).
Aus der Schulzeit existiert noch ein Klassenbuch mit dem Eintrag seines Lehrers Holmboe über Abel: „… dass er der größte Mathematiker der Welt werden kann, wenn er lange genug lebt.“
Holmboe verschaffte Abel ein Stipendium, so dass er 1821 die Universität von Christiania besuchen konnte.
Er widmete sich, teilweise von Professoren aus deren eigener Tasche unterstützt, dem Selbststudium und veröffentlichte in der gerade gegründeten ersten naturwissenschaftlichen Zeitung Norwegens.

1824 erhielt er endlich ein staatliches Stipendium, das ihm ein Studium im Ausland ermöglichte. Gleichzeitig veröffentlichte er seine Arbeit über die Unlösbarkeit von Gleichungen fünften Grades durch Adjunktion von Wurzeln, allerdings in so gedrängter Form, dass sie nahezu unverständlich war (eine erweiterte Version veröffentlichte er in Crelles Zeitschrift 1826).

1825 ging er nach Berlin, wo er von Leopold Crelle, dem Berliner Ingenieur, Verleger und Gründer (1826) des Journals für die reine und angewandte Mathematik (auch Crelles Journal genannt), unterstützt und gefördert wurde. In dessen Zeitschrift veröffentlichte Abel viele seiner Arbeiten, und nicht zuletzt durch Abel (sowie kurz darauf Jacobi, Steiner und andere) erwarb Crelles neue Zeitschrift ihren Ruf, der auch neben den damals angeseheneren französischen Mathematikzeitschriften bestehen konnte.
Abel folgte danach seinen norwegischen Freunden nach Freiberg in Sachsen, wo er seine fundamentalen Arbeiten über elliptische Funktionen entwickelte.

Mit 26 Jahren starb er 1829 an Lungentuberkulose.

Werk

Abel führte eine Umformulierung der Theorie des elliptischen Integrals durch, in die Theorie der elliptischen Funktionen, indem er deren inverse Funktionen benutzte. Außerdem erweiterte er die Theorie auf Riemannsche Flächen höheren Geschlechts ( g=1 entspricht den elliptischen Funktionen) und führte Abelsche Integrale ein. Für diese verallgemeinerte er die schon Euler im Fall elliptischer Integrale bekannten Additionstheoreme (Abels Theorem). Auf diesem Gebiet arbeitete er zuletzt in intensiver Konkurrenz zu Carl Gustav Jacob Jacobi. Dabei bewies er auch, dass die Lemniskate genau für $n=2^{k}\,p_{1}\cdot \cdot ,p_{r}$ (wobei die $p_{r}$ Fermat-Primzahlen sind) mit Zirkel und Lineal in n gleiche Teile geteilt werden kann.

Er war wesentlich daran beteiligt, strengere Methoden in die Analysis einzuführen (Abelsche partielle Summation, seine Arbeit über die Konvergenz binomischer Reihen usw.).

1824 bewies er, dass eine allgemeine Gleichung fünften Grades nicht durch eine Formel gelöst werden kann, die nur Wurzeln („Radikale“) und arithmetische Grundoperationen verwendet. Abel war neben Galois, der Abels Untersuchungen zur Unlösbarkeit von Gleichungen (Satz von Abel-Ruffini) verallgemeinerte (sog. Galoistheorie), ein wichtiger Mitbegründer der Gruppentheorie. Am Anfang seiner Untersuchungen kannte Abel die Arbeiten von Paolo Ruffini nicht, verwies aber in einer späteren Arbeit aus seinem Nachlass auf ihn als seinen Vorläufer (dessen Schriften jedoch so schwierig zu lesen seien, dass ein Urteil über sie schwierig sei, sie schienen aber Lücken aufzuweisen). Wegen dieser Leistung nennt man die kommutativen Gruppen abelsche Gruppen.

1839 gab die norwegische Regierung seine Werke heraus (ediert von seinem ehemaligen Lehrer Holmboe), und in vollständigerer Form 1881 durch seine Landsleute Peter Ludwig Mejdell Sylow und Sophus Lie.

Nach Abel sind folgende mathematische Strukturen benannt:

Abelsche Erweiterung, eine galoissche Körpererweiterung mit abelscher Galoisgruppe
Abelsche Gruppe, eine Gruppe, für die das Kommutativgesetz gilt
Abelsche Identität, ein Ausdruck für die Wronski-Determinante zweier linear unabhängiger homogener Lösungen einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung
Abelsches Integral, ein Integral über eine rationale Funktion in der komplexen Ebene
Abelsche Integralgleichung, eine spezielle volterrasche Integralgleichung 1. Art
Abelsche Kategorie, eine Kategorie, die sich im Wesentlichen wie die Kategorie der abelschen Gruppen verhält
Abelsche partielle Summation, eine bestimmte Umformung einer Summe von Produkten jeweils zweier Zahlen
Abelsche Projektion, eine spezielle Projektion in einer Von-Neumann-Algebra
Abelsche Varietät, eine vollständige, zusammenhängende Gruppenvarietät

Zudem sind nach Abel folgende mathematische Sätze benannt:

Abelscher Grenzwertsatz, ein Satz zur Konvergenz einer Potenzreihe im Randpunkt des Konvergenzintervalls
Kriterium von Abel, ein Konvergenzkriterium für unendliche Reihen
Abelsches Lemma, ein Satz zur absoluten und lokalgleichmäßigen Konvergenz von Potenzreihen

Weiter sind nach Abel benannt:

Abel-Preis, ein hochdotierter Preis, den die Norwegische Akademie der Wissenschaften jährlich seit 2003 vergibt
Abel (Mondkrater), ein Mondkrater im Nordwesten des Mare Australe auf der Mondvorderseite