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Sekantenverfahren

Bei dem Sekantenverfahren handelt es sich um ein schon seit dem Mittelalter bekanntes numerisches Verfahren zur näherungsweisen Lösung einer Gleichung des Typs f(x)=0. Es entspricht einer Vereinfachung des Newton-Verfahrens, da nicht die Ableitung der Funktion berechnet werden muss.

Verfahren

Zwischen zwei Punkten P(x_{1}|f(x_{1})) und Q(x_{2}|f(x_{2})) der Funktion f wird eine Sekante gelegt. Der Schnittpunkt der Sekante mit der x-Achse wird als verbesserter Startwert x_{3} für die Iteration verwendet. Mithilfe von x_{3} wird der neue Funktionswert f(x_{3}) berechnet. Mit f(x_{3}) und dem alten Wert f(x_{2}) wird dieser Schritt wiederholt und erneut eine Sekante angelegt. Man wiederholt diesen Schritt so lange, bis eine ausreichende Näherung der gesuchten Nullstelle erreicht wurde.

Konstruktion am Graphen

Die folgende Animation zeigt, wie mit den Startwerten x_{1} und x_{2} weitere Punkte konstruiert werden.

Animation zeigt mehrere Iterationsschritte des Sekantenverfahrens

Das Verfahren verwendet folgende Iterationsvorschrift:

x_{{n+1}}=x_{n}-{\frac  {x_{n}-x_{{n-1}}}{f(x_{n})-f(x_{{n-1}})}}\cdot f(x_{n})

Dabei wird mit zwei Näherungswerten x_{0},x_{1} begonnen.

Im Gegensatz zum Regula-falsi-Verfahren kann es beim Sekantenverfahren auftreten, dass die Nullstelle für einige Iterationsschritte nicht mehr zwischen x_{{n}} und x_{n+1} liegt.

Zusammenhang mit dem Newton-Verfahren

Das Verfahren lässt sich als Modifikation des Newtonschen Näherungsverfahrens mit der Iterationsvorschrift

x_{{n+1}}=x_{n}-{\frac  {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}

auffassen, indem man die Ableitung f'(x_{n}) durch den Differenzenquotienten

f'(x_{n})\approx {\frac  {f(x_{n})-f(x_{{n-1}})}{x_{n}-x_{{n-1}}}}

ersetzt.

Konvergenz

Aufgrund der Verwandtschaft mit dem Newtonschen Verfahren gelten für die Konvergenz des Sekantenverfahrens ähnliche Bedingungen:

{\frac  {f(x_{n})-f(x_{{n-1}})}{x_{n}-x_{{n-1}}}}
mit zunehmender Annäherung an die Nullstelle durch Auslöschung der Ziffern in die Form 0/0 übergeht. Während das Verfahren selbst die Abschätzung für die Nullstelle immer weiter verbessern könnte, wird in der tatsächlichen Berechnung dieser Gewinn in der Nähe der Nullstelle durch zunehmende Rundungsfehler überkompensiert. Dadurch lässt sich auf Rechnern mit endlicher Stellenzahl prinzipiell mit dem Sekantenverfahren nicht die Genauigkeit des Newtonschen Verfahrens erreichen.

Vorteile des Verfahrens

Gegenüber dem Newtonschen Verfahren ergeben sich mehrere Vorteile:

Das Sekantenverfahren im Mehrdimensionalen

Analog zum mehrdimensionalen Newton-Verfahren kann man auch ein mehrdimensionales Sekantenverfahren definieren, um Nullstellen von Funktionen f\colon D\subset {\mathbb  {R}}^{{n}}\to {\mathbb  {R}}^{{n}} zu bestimmen.

Wurde im Eindimensionalen die Ableitung durch den Differenzenquotient approximiert, so wird im Mehrdimensionalen die Jacobi-Matrix approximiert:

J(x):={\frac  {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}={\begin{pmatrix}{\frac  {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac  {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac  {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\{\frac  {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac  {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac  {\partial f_{2}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac  {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}&{\frac  {\partial f_{n}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac  {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}\approx {\tilde  J}(x,h)=(F(x,h)_{{jk}})_{{j,k\in \{1,\dotsc ,n\}}},

wobei F(x,h)_{{jk}} zu einer gegebenen Schrittweitenmatrix h\in \mathbb{R} ^{{n\times n}} definiert ist durch:

{\displaystyle F(x,h)_{jk}:={\begin{cases}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{k}(x)}},&{\text{falls }}h_{jk}=0\\{\frac {f_{j}(x+h_{jk}e_{k})-f_{j}(x)}{h_{jk}}},&{\text{sonst}}\end{cases}}}, sofern x,x+h_{{jk}}e_{{k}}\in D ist.

Nun ergibt sich analog zum Newtonverfahren folgende Iterationsvorschrift:

x_{{n+1}}=x_{n}-({\tilde  J}(x_{n},h))^{{-1}}\cdot f(x_{n})

Da das Lösen von

\Delta x_{{n}}:=({\tilde  J}(x_{{n}},h))^{{-1}}f(x_{{n}})\;,

über die Berechnung der Inversen einer Matrix und anschließender Multiplikation mit f(x_{{n}}) aufwändiger und numerisch ungünstiger ist, wird stattdessen das lineare Gleichungssystem

{\tilde  J}(x_{{n}},h)\;\Delta x_{n}=f(x_{{n}})

gelöst. Danach erhält man x_{n+1} aus:

x_{{n+1}}=x_{{n}}-\Delta x_{{n}}.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 28.11. 2019