Zellkomplex

Ein Zellkomplex oder CW-Komplex ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der algebraischen Topologie. Es ist eine Verallgemeinerung des Simplizialkomplexes und wurde 1949 von John Henry Constantine Whitehead eingeführt.

Definition

Eine -Zelle ist ein topologischer Raum, der zu $B^{k}:=[0,1]^{k}$ homöomorph ist. Eine offene -Zelle ist ein topologischer Raum, der zum Inneren von $B^{k}$ homöomorph ist. nennt man die Dimension der Zelle.

Ein Zellkomplex oder auch CW-Komplex (closure-finite weak-topology) ist ein Hausdorff-Raum , der in offene Zellen $(c_{i})_{{i\in I}}$ zerfällt, wobei gilt:

zu jeder -Zelle $c_{i}\subseteq X$ existiert eine stetige Abbildung $f_{i}:B^{k}\rightarrow X$ so dass das Innere von $B^{k}$ homöomorph auf $c_{i}$ und der Rand in eine Vereinigung von endlich vielen Zellen der Dimension abgebildet wird. ( $f_{i}$ heißt die charakteristische Abbildung der Zelle $c_{i}$ .)
$M\subseteq X$ ist genau dann abgeschlossen, wenn $M\cap f_{i}(B^{k})$ für alle $i\in I$ abgeschlossen ist.

Das -Skelett eines CW-Komplexes ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimensionen $\leq k$ .

Ein endlicher CW-Komplex ist ein CW-Komplex aus endlich vielen Zellen.

Eigenschaften

Jeder CW-Komplex ist normal, erfüllt aber nicht unbedingt das erste Abzählbarkeitsaxiom, ist also nicht unbedingt metrisierbar. Jeder CW-Komplex ist lokal zusammenziehbar.

In zusammenhängenden CW-Komplexen gilt der Satz von Whitehead über die Homotopieäquivalenz.

Ein CW-Komplex ist der Kolimes seiner endlichen Unterkomplexe.

Beispiele

Jeder Simplizialkomplex ist ein CW-Komplex.
$\mathbb {R}$ ist ein CW-Komplex. Betrachte die Zellen $c_{i}=(i,i+1)$ und die charakteristischen Abbildungen $f_{i}:[0,1]\to {\mathbb {R}},x\mapsto i+x$ .

Zelluläre Abbildungen

Das -Skelett K_n eines CW-Komplexes ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimension $\leq n$ .

Eine CW-Abbildung (oder zelluläre Abbildung) ist eine stetige Abbildung $f\colon K\to L$ , die jede -Zelle von in das -Skelett von abbildet. (Dabei müssen -Zellen nicht notwendig auf -Zellen abgebildet werden.)

Basierend auf einem Artikel in:

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