Initial-σ-Algebra

Eine Initial-σ-Algebra ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er dient dazu, σ-Algebren auf Räumen zu definieren, die bisher keine Struktur hatten, und hat als Spezialfälle die Produkt-σ-Algebra und die Spur-σ-Algebra. Er ist mit der Initialtopologie eng verknüpft. Das Gegenstück zur Initial-σ-Algebra bildet die Final-σ-Algebra. Sie ist das größte Mengensystem, so dass eine vorgegebene Menge an Funktionen messbar ist. Die Initial-σ-Algebra wird auch die (von den Funktionen f_{i}) erzeugte σ-Algebra genannt. Diese Benennung ist aber nicht eindeutig, da σ-Algebren auch von Mengensystemen erzeugt werden können.

Definition

Gegeben seien Abbildungen f_{i}\colon \Omega \to \Omega _{i} und eine Familie von Messräumen (\Omega _{i},{\mathcal  {A}}_{i}) für eine nichtleere Indexmenge I. Dann heißt die σ-Algebra

{\mathcal  {I}}(f_{i},\,i\in I):=\sigma \left(\bigcup _{{i\in I}}f_{i}^{{-1}}({\mathcal  {A}}_{i})\right)

auf  \Omega die Initial-σ-Algebra der Abbildungen (f_{i})_{{i\in I}} oder die von den Abbildungen (f_{i})_{{i\in I}} erzeugte σ-Algebra.

Eigenschaften

Beispiele

{\mathcal  {I}}(\pi _{i},\,i\in I)=\bigotimes _{{i\in I}}{\mathcal  {A}}_{i}.

Verwendung

Initial-σ-Algebren finden zum Beispiel Verwendung in der Wahrscheinlichkeitstheorie zur Definition der stochastischen Unabhängigkeit von Zufallsvariablen. Zwei Zufallsvariablen sind unabhängig genau dann, wenn ihre Initial-σ-Algebren unabhängige Mengensysteme sind.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 24.01. 2021