Produkt-σ-Algebra

Eine Produkt-σ-Algebra, auch Kolmogorowsche σ-Algebra genannt, ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Produkt-σ-Algebren erlauben die Definition von Produktmaßen, die den intuitiven Volumenbegriff auf höherdimensionale Räume verallgemeinern.

Definition

Gegeben sei eine Grundmenge, die das kartesische Produkt $\textstyle \Omega =\prod _{{i\in I}}\Omega _{i}$ für eine nichtleere Indexmenge sei. Jede der Mengen $\Omega _{i}$ sei zudem mit einer σ-Algebra ${\mathcal {A}}_{i}$ versehen. Die Produkt-σ-Algebra von $(\mathcal{A}_i)_{i\in I}$ (oder auch Kolmogorowsche σ-Algebra) ist dann definiert als

$\bigotimes _{{i\in I}}{\mathcal {A}}_{i}:=\sigma \left(\{\pi _{i}^{{-1}}(A_{i})\,|\,i\in I,\,A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}\}\right)$ ,

wobei $\textstyle \pi _{i}\colon \Omega \rightarrow \Omega _{i}$ die Projektion auf die -te Komponente bezeichnet. Das Paar

$\biggl(\prod_{i\in I}\Omega_i,\bigotimes_{i\in I}\mathcal{A}_i\biggr)$

bildet einen Messraum, der auch als messbares Produkt der Familie $((\Omega_i,\mathcal{A}_i))_{i\in I}$ bezeichnet wird.

Notationskonventionen

Ist $I=\{1,2\}$ , so schreibt man häufig auch $\mathcal{A}_1\otimes\mathcal{A}_2$ statt $\textstyle\bigotimes_{i=1}^2\mathcal{A}_i$ .

Ist $\mathcal{A}_i=\mathcal{A}$ für alle $i\in I$ , so verwendet man teilweise auch die Notation $\mathcal{A}^{\otimes I}$ für die entsprechende Produkt-σ-Algebra.

Alternative Definitionen

Mittels messbarer Funktionen

Die Produkt-σ-Algebra lässt sich auch als die kleinste σ-Algebra definieren, bezüglich derer die Projektionen auf die einzelnen Komponenten messbar sind. Da Messbarkeit nur auf einem Erzeuger $\mathcal{E}_i$ der σ-Algebren $\mathcal{A}_i$ überprüft werden muss, ergibt sich damit

$\bigotimes_{i \in I} \mathcal{A}_i = \sigma\biggl(\bigcup_{i \in I}\pi_i^{-1}(\mathcal{A}_i)\biggr) = \sigma\biggl(\bigcup_{i\in I}\pi_i^{-1}(\mathcal{E}_i)\biggr)$ .

Damit ist die Produkt-σ-Algebra der ${\mathcal {A}}_{i}$ die Initial-σ-Algebra ${\mathcal {I}}$ der $\pi _{i}$ :

${\mathcal {I}}(\pi _{i},\,i\in I)=\bigotimes _{{i\in I}}{\mathcal {A}}_{i}$ .

Als Produkt von Familien

Fasst man zwei σ-Algebren ${\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2}$ als Mengenalgebren auf und bildet das Produkt dieser Algebren ${\mathcal {C}}:={\mathcal {A}}_{1}\boxtimes {\mathcal {A}}_{2}$ , so ist ${\mathcal {C}}$ wieder eine Algebra und ein Erzeuger der Produkt-σ-Algebra:

${\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}=\sigma ({\mathcal {A}}_{1}\boxtimes {\mathcal {A}}_{2})$ .

Verallgemeinert auf dies auf größere Indexmengen, so gilt: Ist abzählbar (oder endlich), so gilt

$\bigotimes_{i \in I} \mathcal{A}_i = \sigma\biggl(\prod'_{i \in I}\mathcal{A}_i\biggr),$

wobei

$\prod'_{i \in I}\mathcal{A}_i = \biggl\{\prod_{i\in I}A_i\mid (A_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}\mathcal{A}_i\biggr\}$

das Produkt der Familie $(\mathcal{A}_i)_{i\in I}$ ist. Man beachte, dass das Produkt zweier σ-Algebren $\mathcal{A}_1$ und $\mathcal{A}_2$ im Allgemeinen keine σ-Algebra ist. Jedoch ist ${\mathcal {A}}_{1}\times {\mathcal {A}}_{2}$ ein Halbring und insbesondere $\cap$ -stabil.

Zylindermengen

Alternativ kann man für beliebige Indexmengen die Produkt-σ-Algebra auch als die von den Zylindermengen erzeugte σ-Algebra definieren. Dabei sind die Zylindermengen die Urbilder der Elemente einer σ-Algebra unter der kanonischen Projektion.

Beispiele

Seien $(\Omega_1,\mathcal{A}_1) = (\{K,Z\},\{\emptyset,\{K\},\{Z\},\{K,Z\}\})$ und $(\Omega_2,\mathcal{A}_2) = (\{a,b\},\{\emptyset,\{a,b\}\})$ zwei Messräume. Dann ist die dazugehörige Produkt-σ-Algebra:

${\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}=\{\emptyset ,\{(K,a),(K,b)\},\{(Z,a),(Z,b)\},\{(K,b),(Z,b),(K,a),(Z,a)\}\}$

Die Borelsche σ-Algebra auf $\mathbb {R} ^{n}$ ist gleich der Produkt-σ-Algebra auf $(\mathcal{B}(\R))_{i \in \{1,\dotsc,n\}}$ , es gilt folglich:

$\mathcal{B}(\R^n) = \bigotimes_{i=1}^n\mathcal{B}(\R)$

Sie ist die kleinste σ-Algebra, die alle Mengen der Art $\{A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n}\,|\,A_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb{R} )\}$ enthält.

Anwendungen

Produkt-σ-Algebren sind die Grundlage für die Theorie der Produktmaße, die wiederum die Grundlage für den allgemeinen Satz von Fubini bilden.

Für die Stochastik sind Produkt-σ-Algebren von fundamentaler Bedeutung, um Aussagen über die Existenz von Produkt-Wahrscheinlichkeitsmaßen und Produkt-Wahrscheinlichkeitsräumen zu machen. Diese sind zum einen wichtig, um mehrstufige Zufallsexperimente zu beschreiben, und zum anderen grundlegend für die Theorie stochastischer Prozesse.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de