Multilineare Abbildung

In dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra und verwandter Gebiete wird durch die multilineare Abbildung der Begriff der linearen Abbildung verallgemeinert. Ein wichtiges Beispiel einer multilinearen Abbildung ist die Determinante.

Definition

Eine multilineare Abbildung ist eine auf einem Produktraum definierte Abbildung, welche bezüglich jedes ihrer Argumente eine lineare Abbildung ist: Ist p > 0 eine ganze Zahl, so ist eine p-(multi)lineare Abbildung von der Form

{\displaystyle f:E_{1}\times \cdots \times E_{p}\to F} mit der Eigenschaft, dass
{\displaystyle \forall a\in E_{1}\times \cdots \times E_{p},\forall i\in \{1,...,p\}:f_{i}(a)\in L(E_{i};F)}

wobei {\displaystyle f_{i}(a)} die partielle Abbildung

{\displaystyle f_{i}(a):E_{i}\to F~;~~x\mapsto f(a_{1},...,a_{i-1},x,a_{i+1},...,a_{p})~}

und L(E;F) die Menge der linearen Abbildungen von E nach F bezeichnet.

Dies impliziert, dass alle Ei und F Moduln über demselben Ring k, oder Vektorräume über dem demselben Körper k sind.

Dies ist auch der Fall, wenn jedes Ei ein Vektorraum über einer Erweiterung ki des Körpers k ist.

Falls F=k, spricht man von einer Multilinearform.

Die Menge aller p-linearen Abbildungen von {\displaystyle E_{1}\times \cdots \times E_{p}} nach F wird mit

{\displaystyle L_{p}(E_{1},...,E_{p};F)}

bezeichnet; falls alle Ei=E dieselben sind, notiert man auch

{\displaystyle L_{p}(E,...,E;F)=:L_{p}(E;F)} und schließlich {\displaystyle L_{p}(E,...,E;k)=:L_{p}(E)}.

Beispiele

Weitere Eigenschaften

Die symmetrische Gruppe der Permutationen von {\displaystyle \{1,\ldots ,p\}} definiert eine Operation auf {\displaystyle L_{p}(E;F)},

{\displaystyle S_{p}\times L_{p}(E;F)\to L_{p}(E;F)~;~~(\sigma ,f)\mapsto \sigma f:(x_{1},...,x_{p})\mapsto (x_{\sigma (1)},...,x_{\sigma (p)})}

das heißt durch Permutation der Argumente der p-linearen Abbildung. (Man zeigt, dass {\displaystyle \sigma (\tau f)=(\sigma \circ \tau )f}, indem man dies zunächst für zwei Transpositionen {\displaystyle (ij),(ik)} zeigt.)

Eine Abbildung {\displaystyle f\in L_{p}(E;F)} heißt dann

Umgekehrt definiert man den Symmetrisierer

{\displaystyle S\colon f\mapsto Sf=\sum _{\sigma \in S_{p}}\sigma f}

und den Antisymmetrisierer

{\displaystyle S\colon f\mapsto Sf=\sum _{\sigma \in S_{p}}\varepsilon (\sigma )\,\sigma f},

welche eine beliebige multilineare Abbildung f symmetrisch resp. antisymmetrisch "machen". (Manche Autoren dividieren durch einen Faktor p!, um diese Operatoren idempotent (das heißt zu Projektoren auf die entsprechenden Unterräume) zu machen, was jedoch in Körpern mit endlicher Charakteristik nicht immer möglich ist.)

Man zeigt einfach, dass eine alternierende Abbildung antisymmetrisch ist, während eine antisymmetrische Abbildung alternierend ist wenn {\displaystyle 1+1\neq 0}, und ansonsten symmetrisch ist.

Zum Beispiel sind das Kreuzprodukt und das Spatprodukt antisymmetrische Abbildungen.

Determinantenformen sind Beispiele für alternierende Multilinearformen (per Definition).

Tensoren

Multilineare Abbildungen werden benötigt, um das Tensorprodukt mittels der folgenden universellen Eigenschaft zu definieren, und sie werden damit zugleich klassifiziert: Für jede multilineare Abbildung {\displaystyle A_{1}\times \cdots \times A_{n}\to B} gibt es genau einen Homomorphismus {\displaystyle A_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}A_{n}\to B}, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

Universelle Eigenschaft des Tensorproduktes
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 26.09. 2018