Vollständiger Körper

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein vollständiger Körper ein mit einer vollständigen Metrik versehener Körper, dessen Körperoperationen bzgl. der von der Metrik erzeugten Topologie stetig sind.

Erläuterungen

Ein Körper ist eine Menge versehen mit zwei zweistelligen Verknüpfungen „“ und „ $\cdot$ “, für die gilt:

$\left(K,+\right)$ ist eine abelsche Gruppe (Neutrales Element 0)
$\left(K\setminus \left\{0\right\},\cdot \right)$ ist eine abelsche Gruppe (Neutrales Element 1)
Es gelten die Distributivgesetze: Für alle $a,b,c\in K$ gilt:

$a\cdot \left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c,$ $\left(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ .

Eine Abbildung $d\colon K\times K\to {\mathbb {R}}$ heißt Metrik auf , wenn für beliebige Elemente , und von gilt:

Positive Definitheit: $d\left(x,y\right)\geq 0$ und $d\left(x,y\right)=0\Leftrightarrow x=y$ ,
Symmetrie: $d\left(x,y\right)=d(y,x)$ ,
Dreiecksungleichung: $d\left(x,y\right)\leq d(x,z)+d(z,y)$ .

Die offenen Kugeln in einem metrischen Raum erzeugen (als Basis) eine Topologie, die von der Metrik induzierte Topologie. Stetigkeit der Körperoperationen bedeutet, dass die Abbildungen

$+\colon K\times K\to K$
$\cdot \colon K\times K\to K$

stetig sind.

Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert.

Beispiele

Der Körper der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ mit der Metrik .
Der Körper der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ mit der Metrik .
Der Körper der p-adischen Zahlen $\mathbb {Q} _{p}$ mit der durch die p-adische Norm $|.|_{p}$ definierten Metrik $d(x,y)=|x-y|_{p}$ .
Der Schiefkörper $\H$ der Quaternionen mit der Metrik .

Vervollständigung bewerteter Körper

Definition

Ein bewerteter Körper ist ein Körper mit einer Bewertung, d.h. einer Abbildung in eine totalgeordnete abelsche Gruppe

$v\colon K\to G\cup \{\infty \}$

so dass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

$v(a)=\infty \iff a=0$
$v(a+b)\geq \min\{v(a),v(b)\}$

für alle $a,b\in K$ .

Zu einer gegebenen Bewertung hat man eine Norm $\|x\|:=C^{{-v(x)}}$ (für eine positive reelle Konstante C>0 ) und eine Metrik $d(x,y)=\|x-y\|$ . Die Vervollständigung von bzgl. dieser Metrik ist ein vollständiger Körper, der mit $\overline{K}$ bezeichnet wird.

Beispiele

Ausgehend vom Körper der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ mit der p-adischen Bewertung erhält man als Vervollständigung den Körper der p-adischen Zahlen $\mathbb {Q} _{p}$ .
Ausgehend vom rationalen Funktionenkörper $\mathbb {Q} (x)$ und der durch die Nullstellenordnung im Nullpunkt gegebenen Bewertung erhält man als Vervollständigung den Körper $\mathbb{Q} ((x))$ der formalen Laurent-Reihen.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de