Moivrescher Satz

Der Moivresche Satz, auch Satz von de Moivre oder Formel von de Moivre genannt, besagt, dass für jede komplexe Zahl (und damit auch jede reelle Zahl) und jede natürliche Zahl der Zusammenhang

$\left( \cos x + i\,\sin x \right)^n = \cos\left( n\,x\right) + i\,\sin\left(n\,x\right)$

gilt.

Er trägt seinen Namen zu Ehren von Abraham de Moivre, der diesen Satz im ersten Jahrzehnt des 18. Jahrhunderts fand. De Moivre selbst hatte die Formel nach eigener Aussage von seinem Lehrer Isaac Newton und verwendete sie in verschiedenen seiner Schriften, auch wenn er sie nie explizit niederschrieb (das tat erst Leonhard Euler 1748, Introductio in analysin infinitorum, wo er auch die Eulersche Formel aufstellte).

Die Formel verbindet die komplexen Zahlen mit der Trigonometrie, sodass die komplexen Zahlen trigonometrisch dargestellt werden können. Der Ausdruck $\cos x+i\,\sin x$ kann auch verkürzt als $\operatorname {cis}\,x$ dargestellt werden.

Herleitung

Der Moivresche Satz kann mit der Eulerformel

$e^{\mathrm {i} x}=\cos x+\mathrm {i} \sin x$

der komplexen Exponentialfunktion und ihrer Funktionalgleichung

$\left(e^{\mathrm {i} x}\right)^{n}=e^{\mathrm {i} xn}$

abgeleitet werden.

Ein alternativer Beweis ergibt sich aus der Produktdarstellung (siehe Additionstheoreme)

$(\cos \varphi +\mathrm {i} \sin \varphi )\cdot (\cos \psi +\mathrm {i} \sin \psi )=\cos(\varphi +\psi )+\mathrm {i} \sin(\varphi +\psi )$

per vollständiger Induktion.

Verallgemeinerung

Wenn

$z,w\in {\mathbb {C}}$

dann ist

$\left(\cos z+i\,\sin z\right)^{w}$

eine mehrwertige Funktion, aber nicht

$\cos \left(w\,z\right)+i\,\sin \left(w\,z\right).$

Dadurch gilt

$\cos \left(w\,z\right)+i\,\sin \left(w\,z\right)\in \{\left(\cos z+i\,\sin z\right)^{w}\}.$

Siehe auch

Einheitswurzel

Literatur

Hans Kerner, Wolf von Wahl: Mathematik für Physiker. 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2007, ISBN 978-3-540-72479-7.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de