Kegelstumpf
Kegelstumpf ist in der Geometrie die Bezeichnung für einen speziellen Rotationskörper. Ein Kegelstumpf entsteht dadurch, dass man von einem geraden Kreiskegel parallel zur Grundfläche einen kleineren Kegel abschneidet. Dieser kleinere Kegel wird als Ergänzungskegel des Kegelstumpfs bezeichnet.
Die größere der beiden parallelen Kreisflächen ist die Grundfläche , die kleinere die Deckfläche . Die dritte der begrenzenden Flächen wird als Mantelfläche bezeichnet. Diese Bezeichnungen sind zugleich für die Flächeninhalte dieser Flächen üblich. Unter der Höhe des Kegelstumpfs versteht man den Abstand von Grund- und Deckfläche.
Nahe verwandt mit dem Kegelstumpf ist der Pyramidenstumpf.
Formeln
Mit werde der Radius der Deckfläche, mit der Radius der Grundfläche bezeichnet. sei der Winkel zwischen einer Mantellinie und der Kegelachse.
Formeln zum Kegelstumpf | ||
---|---|---|
Volumen | ||
Länge einer Mantellinie | ||
Mantelfläche | ||
Deckfläche | ||
Grundfläche | ||
Oberfläche | ||
Höhe des Kegelstumpfs |
Beweise
Volumen
Für die Berechnung des Volumens des Kegelstumpfs wird die Höhe des Ergänzungskegels mit bezeichnet. Das Volumen des Kegelstumpfs ergibt sich dann als Differenz zwischen dem Volumen des ganzen Kreiskegels (Radius und Höhe ) und dem Volumen des Ergänzungskegels (Radius und Höhe ). Mit Hilfe des Strahlensatzes (Vierstreckensatz) folgt, dass
- .
Nennt man diesen Quotienten , so gilt
- und
Die Höhe ist somit
Das Volumen des großen Kegels ist
das Volumen des kleinen Kegels ist
das Volumen des Kegelstumpfs ist die Differenz
Alternativ kann das Volumen eines Kegelstumpfes mithilfe eines Integrals berechnet werden, da ein solcher Körper als ein um die x-Achse rotierter Rotationskörper betrachtet werden kann. Die Formel zur Volumenberechnung dieser Rotationskörper lautet: . Setzt man hier für ein und errechnet das Integral in den Grenzen von und , so erhält man das Volumen eines Kegelstumpfes mit den entsprechenden Parametern. Dass diese Formel der obigen Formel gleicht, ergibt sich durch folgende Rechnung:
Mantelfläche
Für die Berechnung der Mantelfläche des Kegelstumpfs werde die Mantellinie des abgeschnittenen kleinen Kegels mit bezeichnet. Laut Strahlensatz gilt
- ,
also
- .
Die Mantelfläche berechnet sich nun aus der Differenz der Mantelfläche des großen Kegels (Radius und Mantellinie ) und der Mantelfläche des kleinen weggeschnittenen Kegels (Radius und Mantellinie ):
Oberfläche
Die Oberfläche des Kegelstumpfs berechnet sich aus der Summe aus Deckfläche, Grundfläche und Mantelfläche:
Siehe auch
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de Seite zurück© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 06.07. 2022