Hessesche Normalform

Die hessesche Normalform, Hesse-Normalform oder hessesche Normalenform ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. In der hesseschen Normalform wird eine Gerade in der euklidischen Ebeneoder eine Ebene im euklidischen Raum durch den Abstand vom Koordinatenursprung sowie einen normierten und orientierten Normalenvektor dargestellt. Die hessesche Normalform ist damit eine spezielle implizite Darstellung der Geraden oder Ebene.

Die hessesche Normalform erlaubt eine effiziente Berechnung des Abstands eines beliebigen Punkts zu der Geraden oder Ebene. Sie ist nach dem deutschen Mathematiker Otto Hesse benannt.

Hessesche Normalform einer Geradengleichung

Hessesche Normalform einer Geradengleichung

Darstellung

In der hesseschen Normalform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene durch einen normierten und orientierten Normalenvektor ${\vec n}_0$ der Geraden sowie ihren Abstand $d\geq 0$ vom Koordinatenursprung beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene, deren Ortsvektoren ${\vec {x}}$ die Gleichung

$\vec x \cdot {\vec n}_0 = d$

erfüllen. Hierbei bezeichnet $\cdot$ das Skalarprodukt zweier Vektoren. Der Normalenvektor ist ein Vektor, der mit der Geraden einen rechten Winkel bildet. Er muss die Länge $|{{\vec n}}_{0}|=1$ besitzen und vom Koordinatenursprung in Richtung der Geraden zeigen, es muss also ${\vec x}\cdot {{\vec n}}_{0}\geq 0$ gelten.

In der hesseschen Normalform werden demnach die Punkte der Geraden implizit dadurch definiert, dass das Skalarprodukt aus dem Ortsvektor eines Geradenpunkts und dem Normalenvektor der Geraden gleich dem Abstand der Geraden vom Ursprung ist. Ein Punkt, dessen Ortsvektor ${\vec {x}}$ die Gleichung nicht erfüllt, liegt für ${\vec x}\cdot {{\vec n}}_{0}>d$ auf derjenigen Seite der Gerade, in die der Normalenvektor zeigt, und ansonsten auf der anderen Seite. Der Koordinatenursprung befindet sich immer auf der negativen Seite der Gerade, sofern sie keine Ursprungsgerade ist.

Beispiel

Ist beispielsweise ein normierter Normalenvektor einer gegebenen Geraden ${{\vec n}}_{0}=({\tfrac 35},{\tfrac 45})^{T}$ und der Abstand der Geraden vom Ursprung $d={\tfrac 65}$ , so erhält man als Geradengleichung

${\tfrac {3}{5}}\,x+{\tfrac {4}{5}}\,y={\tfrac {6}{5}}$ .

Jede Wahl von (x,y) , die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise (2,0) oder (-2,3) , entspricht dann einem Geradenpunkt.

Berechnung

Aus der Normalenform einer Geradengleichung mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und Normalenvektor ${\vec {n}}$ lässt sich ein normierter und orientierter Normalenvektor der Geraden durch

${{\vec n}}_{0}={\begin{cases}{\frac {{\vec n}}{|{\vec n}|}}&{\text{falls}}~{\vec p}\cdot {\vec n}\geq 0\\-{\frac {{\vec n}}{|{\vec n}|}}&{\text{falls}}~{\vec p}\cdot {\vec n}<0\end{cases}}$

bestimmen. Der Abstand der Geraden vom Ursprung kann dann durch

$d = \vec p \cdot {\vec n}_0$

ermittelt werden. Dieser Abstand entspricht gerade der Länge der Orthogonalprojektion des Vektors ${\vec {p}}$ auf die Ursprungsgerade mit Richtungsvektor ${\vec n}_0$ .

Aus den weiteren Formen von Geradengleichungen, der Koordinatenform, der Achsenabschnittsform, der Parameterform und der Zweipunkteform, wird zunächst die zugehörige Normalenform der Geraden ermittelt (siehe Berechnung der Normalenform) und daraus dann die hessesche Normalform.

Abstand

Mit Hilfe der hesseschen Normalform kann der Abstand eines beliebigen Punkts in der Ebene von einer Geraden einfach dadurch berechnet werden, dass der Ortsvektor ${\vec {q}}$ des Punkts in die Geradengleichung eingesetzt wird:

$d(Q,g)={\vec q}\cdot {{\vec n}}_{0}-d$ .

Dieser Abstand ist vorzeichenbehaftet: für d(Q,g)>0 liegt der Punkt auf derjenigen Seite der Gerade, in die der Normalenvektor zeigt, ansonsten auf der anderen Seite.

Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

Darstellung

Analog wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum in der hesseschen Normalform durch einen normierten und orientierten Normalenvektor ${\vec n}_0$ der Ebene sowie ihren Abstand $d\geq 0$ vom Koordinatenursprung beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren ${\vec {x}}$ die Gleichung

$\vec x \cdot {\vec n}_0 = d$

erfüllen. Der Normalenvektor ist hier ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Der Normalenvektor muss wiederum die Länge $|{{\vec n}}_{0}|=1$ besitzen und vom Koordinatenursprung in Richtung der Ebene zeigen, es muss also ${\vec x}\cdot {{\vec n}}_{0}\geq 0$ gelten.

In der hesseschen Normalform werden demnach die Punkte der Ebene implizit dadurch definiert, dass das Skalarprodukt aus dem Ortsvektor eines Ebenenpunkts und dem Normalenvektor der Ebene gleich dem Abstand der Ebene vom Ursprung ist. Wiederum liegt ein Punkt, dessen Ortsvektor ${\vec {x}}$ die Gleichung erfüllt, auf der Ebene. Gilt ${{\vec x}}\cdot {{\vec n}}_{0}>d$ , dann liegt der Punkt auf derjenigen Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt, ansonsten auf der anderen Seite. Der Koordinatenursprung befindet sich immer auf der negativen Seite der Ebene, sofern sie keine Ursprungsebene ist.

Beispiel

Ist beispielsweise ein normierter Normalenvektor einer gegebenen Ebene ${{\vec n}}_{0}=({\tfrac 23},{\tfrac 13},-{\tfrac 23})^{T}$ und der Abstand der Ebene vom Ursprung $d={\tfrac 43}$ , so erhält man als Ebenengleichung

${\tfrac {2}{3}}\,x+{\tfrac {1}{3}}\,y-{\tfrac {2}{3}}\,z={\tfrac {4}{3}}$ .

Jede Wahl von (x,y,z) , die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise (1,2,0) oder (2,-2,-1) , entspricht dann einem Ebenenpunkt.

Berechnung

Aus der Normalenform einer Ebenengleichung mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und Normalenvektor ${\vec {n}}$ lässt sich ein normierter und orientierter Normalenvektor der Ebene wie im zweidimensionalen Fall durch

${{\vec n}}_{0}={\begin{cases}{\frac {{\vec n}}{|{\vec n}|}}&{\text{falls}}~{\vec p}\cdot {\vec n}\geq 0\\-{\frac {{\vec n}}{|{\vec n}|}}&{\text{falls}}~{\vec p}\cdot {\vec n}<0\end{cases}}$

bestimmen. Der Abstand der Ebene vom Ursprung kann dann durch

$d = \vec p \cdot {\vec n}_0$

ermittelt werden. Dieser Abstand entspricht wiederum der Länge der Orthogonalprojektion des Vektors ${\vec {p}}$ auf die Ursprungsgerade mit Richtungsvektor ${\vec n}_0$ .

Aus den weiteren Formen von Ebenengleichungen, der Koordinatenform, der Achsenabschnittsform, der Parameterform und der Dreipunkteform, wird zunächst die zugehörige Normalenform der Ebene ermittelt (siehe Berechnung der Normalenform) und daraus dann die hessesche Normalform.

Abstand

Mit Hilfe der hesseschen Normalform kann der Abstand eines beliebigen Punkts im Raum von einer Ebene wiederum dadurch berechnet werden, dass der Ortsvektor ${\vec {q}}$ des Punkts in die Ebenengleichung eingesetzt wird:

$d(Q,E)={\vec q}\cdot {{\vec n}}_{0}-d$ .

Dieser Abstand ist wieder vorzeichenbehaftet: für d(Q,E)>0 liegt der Punkt auf derjenigen Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt, ansonsten auf der anderen Seite.

Verallgemeinerungen

Hyperebenen

Allgemein wird durch die hessesche Normalform eine Hyperebene im -dimensionalen euklidischen Raum beschrieben. Im -dimensionalen euklidischen Raum besteht eine Hyperebene entsprechend aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren ${\vec {x}}$ die Gleichung

$\vec x \cdot {\vec n}_0 = d$

erfüllen. Es wird dabei lediglich mit -komponentigen statt mit zwei- oder dreikomponentigen Vektoren gerechnet. Eine Hyperebene teilt den -dimensionalen Raum in zwei Teile, die Halbräume genannt werden. Ein Punkt, dessen Ortsvektor ${\vec {x}}$ die Gleichung erfüllt, liegt genau auf der Hyperebene. Gilt ${{\vec x}}\cdot {{\vec n}}_{0}>d$ , dann liegt der Punkt in demjenigen Halbraum, in den der Normalenvektor zeigt, ansonsten in dem anderen.

Kurven und Flächen

Die Normalform gibt es auch für ebene Kurven. Sie ist eine implizite Darstellung

einer Kurve mit der Eigenschaft $|\nabla h|=1$ . Zum Beispiel ist

$h(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-r=0$

die Normalform des Kreises x^2+y^2=r^2 . Die Funktion beschreibt den orientierten Abstand eines Punktes zur Kurve und wird Distanzfunktion genannt. Auch für Flächen gibt es die Normalform. Normalformen für Kurven und Flächen haben sowohl theoretische Bedeutung (analog der Bogenlängenparametrisierung von Kurven) als auch praktische in der geometrischen Modellierung.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de